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Analyse complexe (108) :: post
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Post nº108 (id3852) envoyé par HiLL le 30 Jun 2008, 22:04

Salut, je suis l'un des tout derniers à passer..

1ère question:
--------------

Démontrer que:

Lim f(Z)=w0 ssi Lim u(x,y)=u0 et Lim v(x,y)=v0
avec w0=u0+iv0 z=x+iy

c'est simple, il faut tapper la démo dans le cours.

Questions subsidiaires:
-----------------------

1/C'est quoi une fonction nalytique ?

2/ Calculer l'intégrale de 1/((2*z^2+1)^2) sur le chemin fermé |z-2i|=10.
Il veut juste savoir comment on fait pour la calculer, il veut donc qu'on parle des résidus pour enchainer avec..

3/C'est quoi un résidu, c'est le coefficient de 1/(z-z0) dans le développement en série de Taylor, vous avez dit Taylor??

4/Donner la partie principale du dévp. en série de Taylor de la fonction donnée autour d'un point (pour l'exemple donné c'était 1/(racine(2))*i), bref qques questions sur Taylor.

2ème question:
--------------

On donne la transmittance isomorphe suivante:

H(p)=exp(-tau*p)/((p+a)*(p+b)) avec tau appartient à R+ et a,b
appartiennent à R

1/Donner la réponse impulsionnelle causale du système.
J'ai calculer h(t) en utilisant la méthode des séparations en fractions simples(assez cool comme méthode :D) Puis j'ai dis que Re(p)>-a (si a&ltb)ou Re(p)>-b (si a>b).

3/Quelles sont les conditions pour appliquer le th. de la valeur finale.
C'est dans le cours.

4/En supposant que ces conditions sont satisfaites, calculer Lim h(t) pour t->infini + conditions sur tau, a et b.

Lim h(t) pour t->infini = Lim sigma*H(sigma) pour sigma->0+
Pour les conditons je savais pas trop quoi dire, j'ai donc d'abord calculer la Lim, j'ai trouvé 1/(a*b) et puis j'ai dit qu'il faut que a et b soient différents de 0.

5/
-Si on a une réponse indicielle, que devient la limite.
Il faut juste diviser par sigma

-Pq on a ce résultat?
h(t)*nu(tau) (produit de convolution) = intégrale de -infini à t de h(t)dtau = H(p)/p et c'est une des propriétés de la transformée de Laplace

il était content avec ça et il m'a mis 16/20

Comme ça a déjà été dit par bcp, le prof est assez cool et il vous met à l'aise

Bonne chance pour les ba2 de 08/09 :D

Post nº107 (id3827) envoyé par Sora le 27 Jun 2008, 17:46

C'est une idée ou il y a presque la moitié de ce que j'avais écrit qui a disparu?

Bon, désolée, je réessaye (si ça marche pas je laisse tomber):

Fiche n°13
Soit C chemin admissible fermé simple parcouru dans le sens positif, p0
pôle d'ordre beta.
Démontrer que int(f'(z)/f(z))dz = -2*pi*i* beta
Bref presque la démo du principe de l'argument.
Attention, je me suis fait avoir lorqu'il m'a demandé quel est le domaine
de convergence de cette série de Laurent:
d'habitude on a R1y(t)=u(t)*h(t)
Pourquoi ça s'appelle "réponse impulsionnelle"?
(Seigneur, qu'est ce que j'ai à me taper une question pareille!!!!!!!!)
En gros, c'est parce que si on met comme entrée l'impulsion de Dirac on verra à la sortie...l'impulsion de Dirac , c'est donc la réponse à l'impulsion...
(bon d'accord j'était un peu dans la lune quand il m'expliquait...)
b)conditions pour avoir syst stable:
j'ai dit qu'il faut que intégrale de -infini jusqu'à + infini de
|h(t)|soit borné donc RDC contient l'axe imaginaire, comme par hasard,
il me demande pourquoi @o@? En fait ça à avoir avec la première cond de Dirichlet, intégrale de -infini jusqu'à + infini de |x(t)|exp(-sigma* t)
doit être borné, RDC = ens. des val. pour llesquelles l'intégrale conv. donc si RDC contient l'axe imaginaire, sigma=0, et donc ça revient à la cond. ci-dessus.
(qlq'un me suit encore? pas grave, je crois que le prof n'a pas trop l'air
de me suivre non plus, en tout cas il m'a pas posé de question en plus là
dessus )
c)on donne H1(p) et H2(p) en série et on demande de calculer la réponse pour une entrée cos => formule magique!!! Mais attention, ne faites pas la
même erreur classique: omega est DONNE donc ne laissez pas d'omega dans vos réponses, c'est qlq chose qu'il insiste mais dont personne n'a fait
attention apparemment -_-||| (personnellement j'ai fait cette erreur DEUX fois ;p )
d)Calculer la réponse impulsionnelle de H1,H2, formule basée sur le théorème des résidus, soyez prudent dans vos calculs!!! (pas envie d'expliquer l'erreur que j'ai fait, c'était une bête distraction...)

Conclusion: il m'a dit que j'étudie trop par coeur -_-||| (sorry mais retaper ces démo de dingue par pure intuition c'est en dehors de mes capacités...)

Voilà, ça fait un long post, j'espère que ça va servir.

Bon courage!!

Post nº106 (id3826) envoyé par Sora le 27 Jun 2008, 17:41

Fiche n°13
Soit C chemin admissible fermé simple parcouru dans le sens positif, p0 pôle d'ordre beta.
Démontrer que int(f'(z)/f(z))dz = -2*pi*i* beta
Bref presque la démo du principe de l'argument.
Attention, je me suis fait avoir lorqu'il m'a demandé quel est le domaine de convergence de cette série de Laurent: d'habitude on a R1
y(t)=u(t)*h(t)
Pourquoi ça s'appelle "réponse impulsionnelle"? (Seigneur, qu'est ce que j'ai à me taper une question pareille!!!!!!!!)
En gros, c'est parce que si on met comme entrée l'impulsion de Dirac on verra à la sortie...l'impulsion de Dirac , c'est donc la réponse à l'impulsion...(bon d'accord j'était un peu dans la lune quand il m'expliquait...)
b)conditions pour avoir syst stable: j'ai dit qu'il faut que intégrale de -infini jusqu'à + infini de |h(t)|soit borné donc RDC contient l'axe imaginaire, comme par hasard, il me demande pourquoi @o@? En fait ça à avoir avec la première cond de Dirichlet, intégrale de -infini jusqu'à + infini de |x(t)|exp(-sigma* t) doit être borné, RDC = ens. des val. pour llesquelles l'intégrale conv. donc si RDC contient l'axe imaginaire, sigma=0, et donc ça revient à la cond. ci-dessus. (qlq'un me suit encore? pas grave, je crois que le prof n'a pas trop l'air de me suivre non plus, en tout cas il m'a pas posé de question en plus là dessus )
c)on donne H1(p) et H2(p) en série et on demande de calculer la réponse pour une entrée cos => formule magique!!! Mais attention, ne faites pas la même erreur classique: omega est DONNE donc ne laissez pas d'omega dans vos réponses, c'est qlq chose qu'il insiste mais dont personne n'a fait attention apparemment -_-||| (personnellement j'ai fait cette erreur DEUX fois ;p )
d)Calculer la réponse impulsionnelle de H1,H2, formule basée sur le théorème des résidus, soyez prudent dans vos calculs!!! (pas envie d'expliquer l'erreur que j'ai fait, c'était une bête distraction...)

Conclusion: il m'a dit que j'étudie trop par coeur -_-||| (sorry mais retaper ces démo de dingue par pure intuition c'est en dehors de mes capacités...)

Voilà, ça fait un long post, j'espère que ça va servir.
Bon courage!!

Post nº105 (id3825) envoyé par rocky le 27 Jun 2008, 16:22

1e question:
Donner la transformée de Fourier de x1(t)*x2(t) (produit de convolution) et démontrer l'obtention du résultat, sachant que x1, x2 et x vérifient les conditions de Dirichlet. (facile, démo du cours)
Sous-questions:
Quelle est la 1e condition de Dirichlet -- int |x(t)| de -inf à + inf converge.
La fonction cos(t) respecte-t-elle cette condition? -- Non car si on fait le dessin, on voit qu'en integrant sur tout l'espace la surface tend vers l'infini, comme on prend la valeur absolue de cos.
Et pourtant, cos(t) admet une transformée de Fourier, pourquoi et quelle est-elle? -- on décompose en exponentielles complexes et on sait que e^(iw0t) admet 2 pi Dirac(w-w0) comme transformée, on obtient donc qqch comme pi Dirac(w-1)+ pi Dirac(w+1).
Puis il m'a demandé la réponse d'un système caractérisé par H(p)=e^(-p)/(p+a) à l'entrée sin(t) appliquée depuis l'infini -- A|H(iw)|sin(w0t+arg(H(iw))). Faut dire qu'il faut que le système soit stable et causal pour qu'on puisse utiliser la transfo Fou au lieu de celle de Laplace donnée, donc Re(p) plus grand que -a (pour que RDC inclue axe Im).
Puis j'ai du calculer la réponse impulsionnelle-- H(p) en temporel donc. On transforme d'abord 1/(p+a) en e^(-at) nu(t), puis on applique le glissement dans le temps, donc e^(-a(t-1)) nu(t-1) .

Je crois que c'était tout pour cette question, voyant que je connaissais bien je suppose qu'il a pas jugé nécessaire de me poser des questions chiantes sur RDC etc...

2e question:
calculer integrale sur C de dz/z lorsque C: |z|=1 et puis lorsque C: |z-1|=1/2 . Puis la meme chose avec dz/z^3.
--Dans le premier cas ca donne 2 pi i par Cauchy 1, puis 0 car le pole z=0 n'est pas compris dans C, donc appliquer cauchy goursat.
Pour la 2e fonction, ca donne 0 dans les 2 cas, d'abord par le theoreme des residus (par ex), puis cauchy-goursat.
sous-questions:
definition fonction analytique, expliquer histoire de poles.
dans le 2e cas, n'aurait on pas pu voir que le résidu = 0 directement?
-- oui car 1/z^3 est son propore developpement en serie, et on voit que le terme devant 1/z est nul, donc residu nul.
expliquer ce qu'est un developpement en puissances de Laurent, un résidu
-- on donne la def et on explique l'histoire du b1 et il est content

Voila je me souviens plus si il y avait d'autres sous questions.
J'ai l'impression que plus tu connais bien, moins il pose de sous-questions chiantes. Vu que j'ai eu la chance d'avoir des questions faciles, ca a donc bien été, mais bon j'sais pas si c'et pour tout le monde.

Sinon comme deja dit, le temps d'attente est ENORME. Apres avoir ecrit au tableau la 1e question, j'ai attendu presque une heure, puis après la 2e environ une demie. Donc j'suis resté près de 3 heures...
Le prof je l'ai trouvé cool et pas avare des points.

Bonne chance aux années futures vu que quasiment tout le monde a fini... et vive les vacances!!

Post nº104 (id3818) envoyé par Tam le 26 Jun 2008, 23:13

- Donner les conditions sur z0, C et f(z) pour la formule de Cauchy et redémontrer l'égalité :
f(z0) = 1/(2.Pi.i) int[f(z)/(z-z0)] dz

Bien que je ne connaissais pas la démo du lemme 1/(2.Pi.i) int[1/(z-z0)] dz = 1, il m'a posé plein de questions pour que j'y arrive...

Sous question, poles 1/[(4z²+1)²(Z-5)] ou qqch du genre et calcul d'un des résidu. Ne pas oublier de mettre le 4 en évidence. J'étais un peu distrait et n'avait pas remarqué non plus que 4z²+1 était au carré donc le résidu est d/dz phi(z0).

- Dire si 4 signaux qu'il donne sont linéaires, permanents, stables. Pour le dernier signal, il ne donnait que la transmittance isomorphe H(p) = 1/[(p+11)(p+1)] avec Re(p) > -1, on trouve que h(t) = 1/10 [e(-t) - e(-11t)] nu(t) ou qqch du genre...

Questions sur la stabilité (RDC contient l'axe imaginaire ou int|h(t)| borné). Bien maitriser les RDC et les conditions en tout genre...

Post nº103 (id3816) envoyé par Vinz le 26 Jun 2008, 18:58

Hello,
Alors les deux questions que j'ai eues sont ....
1) Enoncer Cauchy Riemann et démontrer pourquoi c'est une CS (ou une CN? CNS? sais plus ... :p) qu'une fonction f(z) (qui vérifie donc Cauchy Riemann) admet une dérivée. en gros faut retaper le théorème, et la démo qui va avec...
Il a ensuite dévié sur un calcul de résidus facile (sauf si on oublie que les termes sont au carré^^) et après comme on peut s'en douter il bifurque avec série de Laurent (aspect général) RDC, ...

2)Il fallait déterminer la transformée de laplace unilatérale de la dérivée troisième de x par rapport à t... et après en déduire la valeur de L(X(t)) d'un système du genre dx/dt au cube + 6 dx/dt carré + 11dx/dt + 6x=0.
Pour la première partie j'ai utilisé la définition de Laplace unilatérale (lintégrale de o- à l'infini) et je l'ai intégré trois fois par parties.
Pour la deuxième partie, on obtenait un numérateur de l'ordre 2 et un dénominateur d'ordre 3. Fallait factoriser tout ca... (vive horner)On avait alors les pôles et là il a évidemment demandé la zone de convergence et puis de stabilité....
Il a ensuite fait un peu le chien avec des réponses à une entrée sinusoidale depuis l'infini et là j'ai un peu cafouillé avec les arguments d'une exponentielle complexe...

Bref, Kinnaert aide un peu quand vous savez pas ( en tout cas il nous fait comprendre que ce qu'on dit est faux) mais par contre, je trouve que lorsque je maitrisais un peu il voulait me déstabiliser en me faisant douter.

Bonne merde à ceux qui n'ont pas encore fini et pour les générations futures!

Post nº102 (id3801) envoyé par Seb le 25 Jun 2008, 12:17

désolé je poste mes questions tard et j'espère que je ne fais pas d'erreur..

1) démontrer que l'intégrale de f'/f sur un contour contenant un zéro de multiplicité alpha de f vaut 2 pi alpha. Pas compliqué c'est dans la démo du principe de l'argument. après viennent les ptis détails chiants du genre pourquoi est-ce qu'on peut dire que si g est analytique(utilisé dans la démo..) , alors ses dérivées sont analytique, mais ce sont des questions surtout pour voir si vous comprenez de quoi vous parlez.

2) déterminer une transformé de fourrier d'une expression..ca devai ressembler à un truc du genre sin(t).sin(2t)/2pi.t² et il donne en indication le résultat pour sin(t)/2pi t
alors ne faites pas comme moi et n'essayez pas de transformer le produit des sinus en une somme de fonction trigo (oui j'étais complètement cinglé..) mais utilisé plutot la propriété pour le produit de deux fonction qui donne une convolution dans la transformé de F

après j'ai du donner le résultat d'une convolution (graphiquement ou par calcul) n'oubliez pas que l'intégrale de l'impulsion de dirac sur l'espace entier vaut 1..

enfin un tit truc à la c.. donner la sortie du système pour une entrée à fonction sinusoidale (appliqué depuis un tps infini!!!!!)

conseil: si vous avez du temps devant vous, (vous en aurez croyez moi..) essayé d'imaginer les question qu'ils pourrait poser et éventuellement en mettre les résultats au tableau.. c'est plus facile que de débiter ca en direct!! arg.. sinon il est sympa :)

bonne M**

Post nº101 (id3794) envoyé par Laurent le 24 Jun 2008, 19:43

Première question :
Cauchy 1 : Savoir démontrer et donner les hypothèses sur f(z), C et z0
Sous question: Un peu de tout en passant par les séries de Laurent (convergence, énoncé, ... ) via la résolution de (intégrale de) 1/z --> Pourquoi ca ne marche pas avec la primitive?, ...

Deuxième question:
Quelle est la transformée de Fourier de "sin(t)*sin(t/2)/(pi*t²)" en sachant que la transformée de Fourrier de "sin(Wt)/(pi*t)" vaut soit 1 si |w|W

Pour cette question, je l'ai résolue grâce à la formule :"s(t).q(t)=(1/2pi) S(iw)*Q(iw)" avec s(t)=sin(t)/(pi*t) et q(t)=sin(t/2)/(pi*t)
Pas d'inquiétude si vous tomber sur une discussion en fonction de w, c'est normal...(j'avais 3 intervalles différents et il ne m'a pas dit que c'était faux :) je vous le dit pour vous éviter des mauvaises surprises ;) )
Sous-questions : il donne H(p), quelle est la réponse indicielle, ses valeurs asymptotique, ... (vraiment beaucoup de questions, il passe beaucoup de chose en revue mais je me souviens plus trop quoi...)

Voila tout...bonne chance pour ceux qui ne sont pas encore passés

Post nº100 (id3792) envoyé par Lydie le 24 Jun 2008, 19:06

Les deux questions que j'ai tirÃ©es sont les suivantes :

1) DÃ©montrer l'expression du dÃ©veloppement en sÃ©rie de Taylor (il ne dit pas que c'est Taylor, il donne juste l'expression sommatoire ainsi que celle des An).

Comme on employait le thÃ©orÃ¨me ML dans la dÃ©mo et que j'avais du temps Ã perdre, j'ai fini par mettre l'Ã©noncÃ© du thÃ©orÃ¨me (et il a paru intÃ©ressÃ© par le fait que je l'ai fait donc ... p-e Ã©tait-ce une question qu'il m'aurait posÃ©e si je ne l'avais pas fait??).

Il m'a demandÃ© de lui expliquer tout ce que j'avais inscrit au tableau.
Ensuite, il m'a posÃ© quelques petites questions, notamment la dÃ©finition de l'analycitÃ©. Il m'a demandÃ© Ã©galement d'Ã©valuer l'intÃ©grale de f(z)=1/(4zÂ²+1) sur le contour |z-2i|=10. J'ai utilisÃ© les rÃ©sidus.

2) On a un systÃ¨me avec une entrÃ©e U(p) et une sortie Y(p). On a deux systÃ¨mes en sÃ©rie H1(p) et H2(p). 4 sous questions :

a) DÃ©terminer la rÃ©ponse impulsionnelle du systÃ¨me entier.

Comme je n'avais pas compris exactement comment il voulait que je l'exprime, j'ai d'abord Ã©crit que H(p)=H1(p).H2(p) en montrant comment on peut l'obtenir (cours). Et puis h(t)=dÃ©finition avec H(p).
En fait, il voulait que j'Ã©crive cette rÃ©ponse en terme de h1(t) et h2(t). Donc utiliser le fait que produit de transformÃ©e = convolution de h1(t) et h2(t).

b) StabilitÃ© : quelles conditions sur H1(p) et H2(p) ?

LÃ , j'ai commencÃ© avec la premiÃ¨re condition de Dirichlet. Puis sur le fait qu'il faut que l'axe imaginaire appartienne Ã la RDC. Il m'a demandÃ© de justifier cela : avec la 1ere condition de Dirichlet, on est assurÃ© que la transformÃ©e de Fourier existe. Et pour passer de la transformÃ©e de Fourier Ã celle de Laplace, on pose sigma = 0 dans p=sigma+iw.

c) H1(p)= exp(-3p)/(p+1) et H2(p)=1/(p+4). Evaluer la rÃ©ponse Ã l'entrÃ©e u(t)=cos(2t), si l'on sait que cette entrÃ©e est appliquÃ©e depuis t->-infini.

On peut donc utiliser la relation y(t)=|H(iw)|cos(2t+ arg(H(iw))), avec w=2 ici. On avait dÃ©jÃ trouvÃ© au a) que H(p)=produit des H1 et H2. Donc c'est juste calculer le module et l'argument.

d) Utiliser l'expression trouvÃ©e au a) pour exprimer la rÃ©ponse impulsionnelle du systÃ¨me donnÃ© en c).

Comme je n'Ã©tais pas arrivÃ©e lors de la prÃ©paration Ã trouver ce qu'il voulait prÃ©cisÃ©ment au a), j'ai utilisÃ© les propriÃ©tÃ©s des transformÃ©es (dÃ©calage temporel) et la dÃ©finition L(exp(at).x(t)) = 1(p+a). J'ai exprimÃ© H(p) comme une somme de fraction simple (en mettant en Ã©vidence exp(-3p)).
En gros, comme aux tps.

Il ne m'a pas posÃ© d'autres questions aprÃ¨s.

Sinon, en effet, le prof est trÃ¨s sympa, quand il remarque que l'on ne voit pas trop ce qu'il veut qu'on fasse, il nous guide, en posant des questions qui nous mÃ¨nent Ã la rÃ©ponse. Et lorsqu'on se plante un peu, il dit "tu es sÃ»r(e)?".

Sur la maniÃ¨re dont se dÃ©roule l'examen : c'est premier arrivÃ©, premier qui commence... Il en fait rentrer 4 Ã la fois au dÃ©but, et parfois plus tÃ´t (style 8h15), et puis, c'est lorsqu'il y en a un qui a fini qu'un autre entre. L'examen dure facilement 1h30, si pas 2h, mais on a largement le temps de dÃ©stresser... et de rÃ©pondre entiÃ¨rement aux questions.

Bon courage Ã ceux qui doivent encore le passer.

Post nº99 (id3773) envoyé par biscotte le 22 Jun 2008, 21:00

Première question:

Déterminer le domaine où la fonction Log(z) est analytique et déterminer sa dérivée. J'ai d'abord déterminé le domaine où la fonction est continue (partout sauf sur l'axe réel négatif), puis j'ai utilisé Gauchy-Riemann. Après (questions supplémentaires), il m'a demandé de calculer une intégrale centré en Zo de rayon R (avec des valeurs numériques), j'ai utilisé les résidus. Puis avec cette même intégrale, il m'a demandé la forme générale de la série de Laurent en i. Et comment déterminer la valeur de l'intégrale à partir de cette série (résidu = b1). En général, quelle que soit la question tirée, il vous pose des question sur l'ensemble de la matière.

Deuxième question:

J'ai du déterminer la transformée de Fourier d'une expression assez moche et pour cela, je connaissais la transformée de Fourrier d'une expression similaire (aide). Comme x(t)=x1(t).x2(t), avec X1(iw) et X2(iw) qu'on pouvait déterminer grâce à l'aide, j'ai du utiliser les propriétés des transformées et calculer le produit de convolution pour trouver X(iw). J'ai du superposer X1(iw) et X2(iw) pour trouver les différents domaines où la fonction était définie.
Après (questions supplémentaires), il m'a posé plusieurs questions sur les SLP. Notamment:
-si le système est stable, H(iw)=H(p) car Re(p)>-a (a étant positif) or p=o+iw donc on peut prendre o=0.
-si le système est stable, il est correct de dire que F(y(t))=Y(iw) où y(t)=h(t)*u(t) et Y(iw)=H(iw).U(iw) gràce aux conditions de convergence. En effet si le sytème est stable, cela implique que si u(t) est borné, alors y(t) est borné. Donc int(h(t)dt) de -inf à +inf est une condition nécessaire et suffisante pour que F(y(t))=Y(iw).

Faites attention il regarde à chaque détail mais il nous aide aussi quand on est bloqué pour voir jusqu'où on connait la matière.

Post nº98 (id3770) envoyé par MJ le 22 Jun 2008, 17:14

Jsuis passée avant hier.

1) Première partie

Soit C un chemin admissible fermé parcouru dans le sens positif. D est le domaine intérieur à C. Une fonction f(z) analytique sur CUD et qui possède un zéro z0 de multiplicité alpha (z0 est intérieur à C). Il faut montrer que l'intégrale sur le contour fermé C de f'(z)/f(z) = alpha* 2*pi*i

Cette question a déja été développée dans des posts des années précédentes. Il faut partir de la définition d'une fonction analytique possédant un zéro : f(z) = g(z)*(z-z0)^alpha Il faut bien précisé que g(z) est analytique et non nulle en z0 (de par la déf.)
Ensuite faut dérivé f(z) (dérivé d'un produit de fonction) et faire le quotient.
Ensuite on passe à l'intégrale sur C . Alors là, faut cinder l'intérgale en 2 partie. D'un côté on aura g'(z)/g(z). Comme g'(z) est analytique grâce à Cauchy 2, on peut dire que l'intégrale est nulle par Cauchy-Goursat. Comme autre partie, on a [alpha/(z-z0)]. On peut résoudre sa de plusieurs façons. Moi je l'ai fait par le Lemme pr démontrer Cauchy 1.

En expliquant votre démarche, il pose quelques petites questions, du genre : c'est quoi analytique, c'est quoi Cauchy 2, pourquoi tu peux utiliser ici le Lemme, ...

Et après sa, il te pose encore d'autres question pour passer en revue toute la matière du genre : voilà une fonction, calcule moi son intégrale (par la méthode des résidus), calcule moi un résidus, fait moi le développement de Laurent par rapport a ce résidu, RDC de la série de Laurent que tu viens d'écrire, ... En gros, il a TOUT passé en revue.

2) Systèmes

Détermine la linéarité, permanence et stabilité des systèmes suivants :

a/ y(t) = 5t.u(t) (ATTENTION, c'est un simple produit, pas convolution)
b/ y(t) = sin t . u(t)
c/ y(t) = int de moins l'infini à plus l'infini de ( u(tau).exp(3t-tau) dtau)
d/ H(p) = 1/[(p+11)(p+1)]

J'ai bcp galéré pour cette question pcque sa parcours, mine de rien, toute la matière !! Il a vu que j'avais du mal donc on a réfléchi "ensemble". Y a certaines fonctions (désolé, me rapelle vrmt plus très bien) qui sont des expression type de SLP, donc c'est doffice linéaire et permanant. Pour la stabilité, c'est des définitions déférentes pour chaque système :s Je me rapelle que pour la c/ faut utiliser la première condition de Dirichlet (yeaaaaah, trop facile ...).

Enfin bref, je me suis méchamment planté sur la deuxième, mais j'ai bien réussi la première (heureusement). Et il m'a dit que c'était quand même réussi donc voilà, pas perdre espoir, et essayer de lui montrer le maximum de choses que vois connaissez.

PS : soyez pas déstabilisé par la posture de sa tête ^^

Post nº97 (id3768) envoyé par Rafael le 22 Jun 2008, 13:24

Première question:

on a une entrée u(t), une sortie y(t) et une réponse impulsionnelle h(t). donner la relation entre u, y et h :y(t) = u(t)*h(t) // produit de convolution et puis le développer en intégrale.
Puis il nous donne les 3 fonctions de Laplace bilatérales des 3 fonctions et on doit donner la relations en Y(p), U(p) et H(p): Y(p) = H(p) . U(p) //simple produit + démo qui est dans le cours + RDC

questions subsidiaires: convergence, matrice de transmittance, il donne un exemple, il faut lui expliquer la stabilité, la causalité. Puis il donne une entrée sinusoïdale et il faut lui donner la réponse (formule du cours).

Deuxième question:

Il donne une intagréla à calculer avec 2 contours z = |1/2| et z=|3/2|
int sur C de 1/( (z+2)^2 * (z+1)^2 )
Elle vaut 0 dans les deux cas (Cauchy Goursat pour 1 et Résidus pour le 2)
Puis il commence à poser pleins de trucs sur les séries de Laurent, expliquer ce qu'est un résidu, analytique, rayon de convergence (savoir lui faire un ptit dessin).

Je vous conseille de bien connaitre dans les détails les séries de Laurent, la déf d'une fonction analytique, la causalité, stabilité etc... car ces questions resortent dans 90% des exams oraux!

Sur ce , bonne chance à tous !!!

Post nº96 (id3766) envoyé par Adrien le 22 Jun 2008, 10:17

1) Démo de la transformée de Laplace d'une convolution + convergence
Sous-questions : réponse impulsionnelle, valeur asymptotique de la réponse indicielle (->théorèmes taubériens), avec toujours des questions sur les conditions d'applications (Dirichlet, stabilité...)

2) Vérifier le principe de l'argument pour :
a) f(z) = 1/z^3 , Chemin : abs(z) = 1
b) f(z) = 2(z-4), Chemin : abs(z-3) = 1
En fait c'est pas très compliqué, il suffit d'exprimer les chemins sous la forme z(t) = exp(it) (resp. z(t) = exp(it) + 3), puis de faire f(z(t)) et de voir que le nombre d'enroulements autour de l'origine du chemine f(z(t)) est bien donné par T = Z - P où Z et P sont les zéros et pôles à l'intérieur du chemin initial.
Sous-questions : il donne une fonction f(z) = (z-2)/[(10z-20)^2 * (z+3)] , expliquer comment trouver une série de Laurent qui permmette de déterminer le résidus en z = 2 -> développement en série de Taylor de z-2/z+3 autour de 2 (il demande pas de le faire, juste de donner la forme générale de la série de Laurent et de dire qu'on fait un dév. de Taylor...), et bien entendu le domaine de convergence de cette série (faire un petit dessin avec anneau où le petit cercle est autour de z=2 et le grand passe par z=-3, en disant que le petit tend vers 0)

Comme déjà dit par les autres, il est cool, il met bien sur la voie quand il voit qu'on a pas trop compris ce qu'il demandait, il corrige dès qu'on commence à dire des conneries pour qu'on ne s'enfonce pas trop...
Et on a effectivement tooooout le temps de réfléchir à comment on va répondre (ou pas) à toutes les sous questions qu'il pourrait poser sur le sujet, et même sur tous les autres sujets tant qu'on y est.

Post nº95 (id3764) envoyé par Legzi le 21 Jun 2008, 20:49

1ere question
-------------
Démonstration de Taylor. J'ai bien fait toute la démo.
Après il m'a posé des questions sur la région de convergence et d'autres petites questions bien chiante que tu sais pas trop bien répondre si tu connais juste bien la démo par coeur mais pas grand chose autour.

2eme question
-------------
On donne le dessin d'une transformée de fourrier X(iw) (c'est un triangle).
Il faut tracer la transformée de y(t) = (cos2t + cos5t).x(t) (x(t) étant la transformée inverse de X(iw)).

Pour ça j'ai transformé (cos2t + cos5t) en transformée de fourrier et puis comme c'est une fonction périodique on peut utiliser la relation: cos(w0t) => pi*delta(w+w0) + pi*delta(w-w0). Après j'ai dit qu'il y avait une impulsion quand w+w0 = 0 ou w-w0=0 et donc on peut retracer le graphe.
Le graphe que j'ai dessiné était tout à fait correcte.. parcontre il m'a dit que c'était du bol et qu'il fallait calculer ca autrement via les propriétées d'une convolution etc etc.. même si mon argumentation était correcte.. enfin en tout cas il ne m'a pas dit que c'était faut, il voulait juste voir ça autrement.

Donc en résumé j'avais répondu correctement aux deux questions mais il m'a dit que je connaissai trop par coeur et que c'était trop superfiel comme étude (il n'a pas tort). Bref j'ai 9/20 et j'ai trop la haine :D. Je trouve que pour une fois il n'a pas été juste. J'avais répondu aux questions et c'est les petites questions a coté qui m'ont foutu dedans. Je méritait pas 12 peut-etre meme pas 11 mais en tout cas 10! (ce qui aurait été suffisant).

Tout ça pour vous dire qu'il ne suffit pas de connaître ces démos parcoeur. Il faut comprendre ce qu'on fait..

Post nº94 (id3760) envoyé par Houblond le 21 Jun 2008, 18:32

première question :
soit y(t), u(t), h(t), exprimer Y(p) en fonction de U(p) et H(p) (en gros transformée de Laplace d'une convolution).
Il pose pas mal de questions après sur la région de convergence (pourquoi c'est ca? ca représente quoi géométriquement?..) donc faut pas simplement connaître la démo...

deuxième question :
série de Laurent en puissance de z avec f(z)= -1/(z-1)(z-2) pour |z| supérieur a 2 et z compris entre 1 et 2.
La aussi il vous posera des questions sur la convergence...

vous avez tous le temps et Kinnaert est assez sympas

Post nº93 (id3747) envoyé par anonyme le 21 Jun 2008, 11:25

Bon si ça foire encore j'abandonne, et tant pis si je pollue rien à foutre ^^

2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²

Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))

Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

Post nº92 (id3746) envoyé par Le Chameau le 21 Jun 2008, 11:24

Y a un bout de la question 2 qui est partie, je recommence

2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²

Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))

Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

Voila c'est tout concernant le prof, il est sympa et veut te mettre à l'aise... par contre, je sais pas pour les autres, mais il m'a coté comme un crevard.

Bonne CHANCE aux autres

Post nº91 (id3744) envoyé par Le Chameau le 21 Jun 2008, 11:22

Salut

1ere question (8) : Démontrer que f(z) admet une série de Taylor (-> démo du cours)

Questions en plus : Calculer l'intergrale de 1/(z-16)^4 sur |z-2i| Th des résidus)
C'est quoi un résidu? (-> coeff de 1/(z-z0) dans la série de Laurent
C'est quoi une série de Laurent?
Région de convergence? (anneau dont le rayon est le plus grand tel que l'anneau soit analytique)

__________________________

2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²

Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))

Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

Voila c'est tout concernant le prof, il est sympa et veut te mettre à l'aise... par contre, je sais pas pour les autres, mais il m'a coté comme un crevard.

Bonne CHANCE aux autres

Post nº90 (id3743) envoyé par gilles le 21 Jun 2008, 11:19

Salut,

J'ai passé hier mon exam oral d'analyse complexe et voici les question que j'ai eu. J'ai tire le 2 dans les deux cas.

Première question:

Un grand classique:
Enoncer les equations de Cauchy-Riemann et demontrer qu'elles sont une condition necessaire pour que f' existe (tout cela bien exprime en z0 bien sur).

Deuxieme question:

Un peu plus chaud quand meme...
Calculer la transformee de Fourier de sin(t)sin(t/2)/(pi t^2) sachant que la transformee de Fourier de sin(Wt)/(pi t) est egale à 1 si |w| plus petit que W et egale à 0 si |w| plus grand que W.
Attention: les majuscules representent le omega particulier du signal de depart tandis que les minuscules, c'est la variable dans la transformee.

Pour la premiere question, pas de surprise, j'ai deballe tout ce que je savais sur la demo etudiee et il a ete content(il faut bien lui expliquer certains passage comme le passage du choix des delta z particulier). Il m'a bien sur poser quelques questions sur la notion d'analycité en me demandant si la fonction P(1/2,z) etait analytique, où et pourquoi. En partant de la definition de la fonction puissance (P(c,z)= e^(c Log(z))), il y avait moyen de s'en sortir (avec Cauchy-Riemann) mais il voulait juste une explication qualitative et donc il m'a demande de justifier avec les connaissances sur la fonction Log(z)(où elle est analytique et pourquoi, expliquer pourquoi il y a discontinuite lors du passage de l'axe reel negatif,...).

Pour la deuxieme question, c'etait un peu plus chaud car il fallait utiliser la propriete suivante: F(x(t) u(t))= 1/(2 pi)(F(x(t))*F(u(t))), formule que l'on utilisait jamais je pensais car cela me semblait idiot d'effectuer une convolution alors qu'il suffisait d'appliquer un bete produit des signaux de depart pour s'en sortir. Mais on voit bien qu'il n'est pas si simple de s'en sortir ici(à cause du fait que c'est des sin/t).
Et donc, ce qu'il y avait à faire, c'est appliquer la transformee de Fourier des 2 signaux et effectuer la convolution (un facteur pi doit etre ajoute pour pouvoir appliquer la formule donnee à chaque fois). Ensuite effectuer le produit de convolution de ces resultats... Ce qui demande une discussion assez longue sur les bornes de l'integrale que je vous laisse deviner où faire deviner par vous meme si cela vous enchante de refaire cet exo!!
Donc... Pas tres court comme exo, si bien que aussi peu probable que cela puisse paraitre au vu des dires des autres, je n'ai pas eu le temps de terminer la question avant qu'il n'arrive. Mais il s'en foutait completement, il voulait juste voir la demarche et il etait tres content meme sans resultat final.
Il m'a bien sur pose apres toutes les questions qu'il affectionne càd premiere condition de dirichlet, stabilite, que sort un systeme auquel on applique un sin(t) depuis un temps infiniment long (pourquoi sin(t) admet une transformee de Laplace alors que les "pseudo-conditions" de dirichlet ne sont pas verifiees et je pense que c'est a peu pres tout!

Ca fait un long post quand meme!! J'espere que c'etait plus ou moins clair mais le gros truc a retenir, c'est de bien comprendre la stabilite , les conditions de dirichlet, l'analycite et tous les concepts importants abordes au cours.

Voila, je vous laisse, je dois aller prendre un verre avec plein de glaçons, me mettre dans mon transat et bronzer un peu, je n'ai pas que cela à faire tout de meme: je suis en VACANCES!!!

Post nº89 (id3741) envoyé par Caroline le 21 Jun 2008, 10:46

Question 1:

On a un contour C, sens positif, f analytique et non nulle sur C et D (intérieur de C)sauf en p0 où f a un pole de multiplicité beta dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz.
==> partir de la définition de pole pour développer en série et trouver le résidu, ensuite théorème des résidus, on trouve -beta*2*pi*i.
Ensuite il m'a posé des questions sur les formules de Cauchy, f analytique => f' analytique, les propriétés des séries (cercle de convergence,...)

Question 2:

Ces systèmes sont-ils linéaires, permanents, stables ?

1. y(t) = 5 t u(t) -> linéaire, non permanent et non stable
2. y(t) = sin (t) u(t) -> linéaire, non permanent mais stable
3. y(t) = intégrale de -infini à + infini de (u(to) exp 3(t-to) dt)
==> linéaire permanent mais pas stable
4. Système avec une transmittance isomorphe H(p) = 1/(p+11)(p+1) avec Re(p) > -1 ==> linéaire, permanent et stable
Ensuite il m'a donné une autre transformée et m'a posé des questions sur les valeurs asymptotiques et initiales de sa transformée inverse (théorèmes taubériens).

Voilà... La première question j'ai eu beaucoup trop de temps pour répondre (c'est long!) par contre la 2ème, comme je passais dernière il n'avait plus personne à interroger et m'a demandé de la terminer oralement et là il faut vraiment savoir où on va, parce qu'à la moindre hésitation il intervient et ne laisse plus du tt de temps pour réfléchir.

Bon courage à tous.

Post nº88 (id3733) envoyé par anonyme le 20 Jun 2008, 21:17

Théorie:

Théorème de la valeur final... Avec quel condition peut-on en deduire que
lim x(t)= lim sigma X(sigma) sigma-->0+

Pratique:

Vérifier a l'aide du principe de l'argument les fonction et les chemins suivant

a) 1/x³
b) 2(x+1)

Post nº87 (id3723) envoyé par Renaud le 20 Jun 2008, 15:03

Première question :

Donner le domaine d'analycité de Log(z) puis, dérivé-le.

Log(z)=log|z| + i Arg(z)

==> foirage en 0 à cause du log et discontinuité sur l'axe réel négatif à cause de : -pi v = arctg(y/x)
Ensuite pour éviter de dériver l'arctg, on emploit le fait que la fonction est analytique ==> dv/dx = -du/dy

Au final : d(Log(z))/dz = d(log(sqrt(x²+y²)))/dx - i d(log(sqrt(x²+y²)))/dy
=(x-iy) / (x²+y²) = 1/(x+iy) = 1/Z

Question supplémentaire :

soit f(z)= (2z-3) / [(4z-8)² * (z-1)]

Définir ce qu'est un résidu
==> le terme b1 dans la série de Laurent, autrement dit le facteur de 1/(z-z0)
Sur ce : donner la forme général d'un développement de Laurent
==> dans le cours ^^ pas envie de réécrire ça.

Donner le résidu en z=2
==> on dit que f(z) = phi(dérivé n fois)(en z0) / (n-1)!
ici phi= (2z-3) / [16*(z-1)] et n=2 car (z-2) est exposant 2
J'vous laisse le calcul...

Dernière sous question : donner la zone de convergence et donc le rayon de convergence.
==> dessinez le plan complexe, un point en (1,0) et un autre en (2,0), ce sont vos deux pôles, vous tracez un cercle centré en (2,0) de rayon tendant vers 1 (c'est-à-dire, un cercle ne passant pas par l'autre pôle mais presque) et un autre cercle toujours centré en (2,0) mais qui lui tends vers un rayon nul. La zone de convergence est située entre ces deux cercles.
Il demande sont "équation" : 0 sortie bornée
ou en parlant des la zone de convergence (ZDC) qui doit contenir l'axe imaginaire.

c) Qu'elle est la réponse du SLP si l'entrée est : u(t)=3cos(2t) (DEPUIS t= -INFINI !!!) et H1(p) = exp(-3t) / (p-1) et H2(p)= 1/ (p-4)

Alors là il faut préciser que l'histoire du (w/w²+p² ou p/... je sais plus trop bien) ça marche pas, car la fonction démarre de -inf
==> ne pas partir dans le méga trip du : un cos c'est la somme de deux exponentielles imaginaires....
la réponse (et le prof m'a rappelé a la fin de l'examen à quel point cette formule est importante et fondamentale) est qu'il faut employer ceci :
y(t) = A(amplitude : 3 ici) . |X(iw)|(ici X c'est H je crois, et le w c'est 2) . cos(2t + phi(2)) (phi est l'argument de H en fait, ce que je ne savais plus...)

d) Puis une dernière sous question dont je ne me rappelle plus car il est arrivé avant que je l'entame et je ne sais même pas si j'ai du y répondre au final.

Voilà voilà j'ai fais le plus complet possible ;)

Bonne merde à tous, et tout ce qu'on dit est vrai, il est sympa et on attend trèèès longtemps avant de partir.

Post nº86 (id3707) envoyé par Maïa le 19 Jun 2008, 23:45

Question 1:
-----------

Soit C un chemin élémentaire et f(z), une fonction continue.
Définir intégrale de f(z) sur C.

Appliquer à la fonction f(z)= (x + y^2) + i.x.y^3 le long du chemin allant de 0 à (i-1).

Question 2:
-----------

Soient x1(t) et x2(t) deux fonctions de Transformées de Fourier X1(iw) et X2(iw) et vérifiant Dirichlet.
Soit x(t)=x1(t).x2(t) tq x(t) vérifie Dirichlet.

Donner l'expression de la Transformée de Fourier de x(t). Démontrer.

Post nº85 (id3701) envoyé par da cursed le 19 Jun 2008, 21:04

1e question: (jeton 1)
------------

demontrer que f(z) admet comme limite w0 si et seulement si u admet u0 et v admet v0 => demo des limites.

puis quelques questions subsidiaires sur analycité, continu + application de cauchy.

2e question: (jeton 8)
------------

Un systeme avec H1 et H2 en parallele, trouver que ca doit etre la somme, puis reponse indicielle, puis pente a l'origine (taubérien) + signal a l'entrée sinusoidal. => expliquer avec sortie y=|H|sin(wt+phi)

Bonne m* pour ceux qui doivent encore le passer et accessoirement aux générations futures ...

Le prof est super cool, il donne des points meme si on se plante si on arrive a se corriger apres ses remarques.

Post nº84 (id3696) envoyé par Arnaud le 19 Jun 2008, 18:44

Voici les 2 questions principales posées :

1. Donner le signal de sortie pour un système de transmittance isochrone donnée (H(iw)) et pour le signal d'entrée A cos(w0t + theta0).

-Sous-question : il donne une transmittance isomorphe (fct de transfert) et demande si le système qu'elle décrit est stable ou non ; cette fct peut-elle être utilisée dans le raisonnement de la question principale ?
(la réponse était *non* car le système était instable donc ne comprenait pas l'axe imaginaire donc la transmittance isochrone H(iw) de ce système n'existait pas).

2. Calculer le résidu de f(z) = -1 / (z-1)(z-2) en z=2 en utilisant un dvlpt en série de Laurent de f(z) adéquat (càd autour de z=2, évidemment).

-Sous-question : peut-on calculer l'intégrale sur un contour fermé donné de [dz / z] en utilisant une primitive (sous-entendu Log z) ?
La réponse était *non* car il y avait une discontinuité de Log z au point d'intersection du contour fermé et de l'axe réel négatif. CCL : calculer l'intégrale avec la 1ère formule de Cauchy (ou les résidus, si vous êtes fans, mais c'est un peu la grosse artillerie pour pas grand chose... de mon point de vue en tout cas)

3. Ah ben il n'y en a pas ;-)
J'utilise ce point pour dire 2 mots sur le prof, alors : sympa, rigoureux mais pas pointilleux. Connaissez vos raisonnements et tout ira bien. Moins il parle et plus vous parlez, mieux ça vaut. Quand il interrompt, c'est souvent qu'il y a un problème dans ce que vous dites.

Bonne chance aux BA2 de la cuvée 2011 (enfin... si tout se passe bien ;-) et aux "générations futures" !

Post nº83 (id3682) envoyé par Thomas le 19 Jun 2008, 11:33

Mais oki ca bug à fond :o
Je réessaye.

1) f(z) analytique sur le disque ouvert |z-z0|<R
Démontrer que f(z)=An(z-z0)^n
où An=fn(z)/n!

2) X(p) = e^-3p / (p+1)(p+2)
x(t) est-elle univoquement définie par X(p)?
Déterminer l'(les) expression(s) de x(t)

Post nº82 (id3681) envoyé par Thomas le 19 Jun 2008, 11:31

1) f(z) analytique sur |z-z0|

Post nº81 (id3673) envoyé par Alex le 18 Jun 2008, 20:44

Désolé, petite erreur de manip. Je réenvoie.

question 8 :
Démontrer pour une fonction analytique sur un disque ouvert |z-z0|<R que f(z)=somme(a(n)*(z-z0)^n) avec a(n)=dérivée nième de f divisée par n! (En gros démontrer le développement en série de Taylor)
Question subsidiaire : effectuer le développement en série de Taylor de (z+2)/[(z-3)(z+4)] et indiquer le domaine de convergence

question 1 (aussi 25):
On nous donne le graphe de X(iw) la transformée de Fourier de x(t), et on demande d'esquisser le graphe de la transformée du produit [cos(t/2)+2cos(5t)]*x(t) (C'est un produit simple, pas une convolution)
question subsidiaire :
On donne un système causal de réponse H(p)=(p+2)/[(p+3)(p+4)] et une entrée u(t)=sin(t). Déterminer la sortie y(t).

Post nº80 (id3672) envoyé par Alex le 18 Jun 2008, 20:42

question 8 :
Démontrer pour une fonction analytique sur un disque ouvert |z-z0|

Post nº79 (id3663) envoyé par etienne le 18 Jun 2008, 17:10

j'ai mal écrit la fonction de ma deuxième question --->-1/(z-1)(z-2)

désolé ;-)

Post nº78 (id3662) envoyé par etienne le 18 Jun 2008, 17:09

j'ai pioché la question 1 et la 20
pour la 1 j'ai eu : réponse à un signal u(t) en ayant la réponse impulsionnelle h(t) puis démonter Y(p)=H(p)*U(p) ( multiplication et non convolution ;-))...puis il a dévié vers RDC &Co ...question facile donc il va balayer tout le cours .
pour la deuxième question j'ai eu écrire la serie de laurent de -1/(-1)(z-2) dans les régions abs(z)>2 et 1

Post nº77 (id3661) envoyé par Momo le 18 Jun 2008, 16:59

et la deuxieme question se portais sur le developpement de laurent de
-1/(z-1)(z-2) autour de 2

Post nº76 (id3660) envoyé par Momo le 18 Jun 2008, 16:55

Feuille 16 numérotation bleu

vous avez L(s(t)=> S(p) qui converge entre sigma S+ et sigma S-
et L(q(t)=> Q(p)qui converge entre sigma Q+ et sigma Q-

que déduisiez vous de la région de convergence de de la convolution s(t)*q(t)

ici il faut lui montrer que la convergence n'est possible qu'a l'intersection des région ,vous lui faite un dessin et il sera content ,
il vous demandera pourquoi ces valeur là , parce que pour respecter Dirichlet 1 il faut que votre intégral converge ou valeur fini (

Post nº75 (id3659) envoyé par Odile le 18 Jun 2008, 16:48

vrmt déso de polluer mais j'ai compris que c'était les "

Post nº74 (id3658) envoyé par Odile le 18 Jun 2008, 16:45

voilà dernier post, puisque lentièreté de la question ne passe tj pas...
voici la fin du post:

ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

Post nº73 (id3656) envoyé par Odile le 18 Jun 2008, 16:40

bon apparemment n'entièreté de mon post n'est pas passé...alors le voici..
voilà j'ai passé l'oral ce matin..
Question 1:
-----------
démontrer que pour un système de H(iw) connu et d'entrée u(t)=Acos(w0t) on a la forme y(t)=|H(iw)|Acos(w0t+phi(w0)). En fait il ne donne pas l'expression y(t) que j'ai citée donc il faut savoir que c'est le résultat auquel on doit aboutir. On résoud cette question de la même manière que la démonstration qu'il ya dans le cours pour u(t)=Asin(w0t),(car cos et sin sont des frères jumeaux, dixit le prof;-))(avec y(t)=Asin(w0t+phi(w0)))sauf que il faut considerer dans la démo l'esponentielle (1/2)*(e(iw0t)+e(-iwot))(définition du cos(w0t)) et non pas (1/2i)*(e(iw0t)-(e(-iw0t))(définition du sin(w0t)..pour la suite de la démo on applique les mêmes propriétés que celles faites dans le cas du sinus..càd considérer aussi H(-iw0) comme étant le conjugué de H(iw0) et préciser que ces propriétés de symétries faites car la fonction est réelle..
Question 2:
-----------
définir l'intégrale de f(z) sur C où C est un segment de droite, qui va de z=0 à z=i-1, donc il faut paramériser le chemin C suivant un paramètre t,enfin c'est un peu piège car il n'y a pas eu ça dans les exercices de tp's..
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

Post nº72 (id3655) envoyé par odile le 18 Jun 2008, 16:29

voilà j'ai passé l'oral ce matin..
Question 1:
-----------
démontrer que pour un système de H(iw) connu et d'entrée u(t)=Acos(w0t) on a la forme y(t)=|H(iw)|Acos(w0t+phi(w0)). En fait il ne donne pas l'expression y(t) que j'ai citée donc il faut savoir que c'est le résultat auquel on doit aboutir. On résoud cette question de la même manière que la démonstration qu'il ya dans le cours pour u(t)=Asin(w0t),(car cos et sin sont des frères jumeaux, dixit le prof;-))(avec y(t)=Asin(w0t+phi(w0)))sauf que il faut considerer dans la démo l'esponentielle (1/2)*(e(iw0t)+e(-iwot))(définition du cos(w0t)) et non pas (1/2i)*(e(iw0t)-(e(-iw0t))(définition du sin(w0t)..pour la suite de la démo on applique les mêmes propriétés que celles faites dans le cas du sinus..càd considérer aussi H(-iw0) comme étant le conjugué de H(iw0) et préciser que ces propriétés de symétries faites car la fonction est réelle..
Question 2:
-----------
définir l'intégrale de f(z) sur C où C est un segment de droite, qui va de z=0 à z=i-1, donc il faut paramériser le chemin C suivant un paramètre t,enfin c'est un peu piège car il n'y a pas eu ça dans les exercices de tp's..
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

Post nº71 (id3653) envoyé par Olivier le 18 Jun 2008, 15:55

Mes questions d'oral pour ce matin:

1) question 20 (numérotation rouge)
On demande d'exprimer y(t) en fct de h(t) et u(t) (convolution)
puis Y(p) en fct de U(p) et H(p). La démo est assez courte et est dans le cours.

Si la question initiale est relativement simple (et le temps pour y répondre ENORME!) les questions annexes qu'il pose ensuite le sont nettement moins. Son grand dada: régions de convergence!!! Soyez incollables là dessus car, quel que soit votre question, vous en aurez!

Il a ensuite demandé à peu près tout sur la stabilité avant de demander d'exprimer y(t) grâce à H(p) et U(i.Omega)+ les conditions pour pouvoir résoudre le schmilblik.

2) question 1 (toujours numérotation rouge)
Résoudre la série de Laurent f(z) = 1/((z-1)(z-2)).
En question annexe, il a vite dérivé sur les primitives, en demandant de résoudre int(dz/z) sur le cercle défini par |z-2i|=10.
Def de Log, de Arg etc... pour finalement arriver à la conclusion qu'on ne sait pas résoudre cette intégrale via les primitives, et il demande alors la valeur de l'intégrale et comme on y arrive (méhode des residus et tout ce qu'on sait sur les résidus etc)

En conclusion:
les question annexes sont souvent assez longues, bien plus longues que la question initiale. Les 2 parties du cours à DEVOIR maîtriser sont
-les RDC + stabilité
-les primitives
Ces 2 points ressortent 9 fois sur 10 lors des questions annexes.

Bonne m* à tous!

Post nº70 (id3636) envoyé par marc le 17 Jun 2008, 16:36

Je viens d'avoir eu l'oral.

Comme pour tout le monde, j'ai pioché mon petit jeton et c'est parti pour la démo.

Première question: Théorème des résidus, qu'est-ce qu'un résidu, application à la transformée de laplace inverse.

Le théorème en lui même est tout con (la démo prend deux lignes). Il faut savoir expliqué comment intervient le théorème de Cauchy-Goursat pour ça il suffit d'expliquer le petit dessin et de dire que ce théorème nous permet de considérer que les intégrales sur un chemin n'entourant pas un résidu est nulle.
Pour l'application dans la transformée de Laplace, il ne m'a rien demandé (je ne sais même pas s'il l'a regardée).

Il m'a ensuite demander si on pouvait calculer l'intégrale de dz/z pour |z-1|=3 grâce à Log z. La réponse est non puisque Log z est discontinue sur l'axe réel négatif (à démontrer).

Question 2:
J'ai eu un système avec deux transmittances isomorphes en parrallèle.
Il m'a demandé l'impulsion du système (on additionne les transformées inverses de laplace des deux transmittances grâce à la linéarité).
J'ai ensuite du calculer la pente à l'origine de la réponse indicielle du système (grâce au théorème de la valeur initiale).
Pour finir, j'ai du calculer la réponse du système avec une entrée sinusoidale.

A part ça, il est sympas.
Mais prenez tout votre temps pour répondre, sinon vous allé trouvé le temps lond... très long.
Bonne merde

Post nº69 (id3626) envoyé par J-P le 17 Jun 2008, 11:51

Mon tirage : 14 puis 6

question 1 :
x(t) = x1(t)*x2(t), que vaut la transformée de Fourier ?
Réponse: petite démo en 3 minutes puis au moins 30 minutes (après j'ai plus compter) à attendre le prof.
Sous-question : à quoi ça sert, conditions (dirichlet 1, les autres il s'en fou), stabilité d'un système, ...

Question 2 :
série de Laurent de f(z) = 1 / ( z² (z-3)²) avec deux indications : 1) faire un chgt de variable q = z-3 peut être utile et 2) 1/(1-z)² est la dérivée de 1/(1-z)
Les indications ne servent à rien (en tout cas j'ai pas utiliser et ca ne le dérangeait pas). Encore une demi-heure d'attente.
Sous-question : résidus, multiplicité (c'était ds la question mais il n'en a pas parler), région de convergence (la il insiste) + qu'est-ce que ça implique pour f(z), ... il est arrivé aux équations de Cauchy-Riemann je sais pas comment, puis il a dit c'est bon.

Autres remarques :
vu l'état de ses petites fiches, il n'a pas changer de questions depuis qques années donc je vous conseille de refaire ttes les questions postées depuis ... le début. Il y en a une vingtaine pour chaque partie.

vs avez le temps de répondre donc écrivez ttes les lignes des démos.

choisissez le grand tableau dans la salle principale pour pouvoir lire les affiches en attendant le prof.

Bonne chance pour tous les suivants.

Post nº68 (id3616) envoyé par Elise le 16 Jun 2008, 19:56

Question 1

Un système linéaire et permanent a pour transmittance isochrone H(iw) si l'entrée du système vaux u(t) = A sin(w0t), donner la réponse du système et démontrer le résultat ?

Question 2

Calculer l'integrale sur le contour fermé C de f(z) pour

f(z) = 1/(z²+4)(z²+1)
C étant défini

a) | z | = 1/2

b) | z | = 3/2

La première question ca s'est très mal passé et la deuxième très bien (Cauchy Goursat pour le a et théoréme des résidus puis qques questions sur qu'est ce qu'un résidu et donc série de laurent).

Malgré la premiere question il m'a dit que j'aurai 12 ou 13/20 !
Cool!
Bonne merde A tous, vous verrez c'est faisable...

Post nº67 (id3615) envoyé par anonyme le 16 Jun 2008, 19:35

Bonjour à tous,
voilà les qustions sur lesquelles je suis tombée ce matin

1ere question: théorie des signaux
demonstration de la trnasformée de Fourier d'un produit de convolution, en prenant soin de bien définir les conditions de dirichlet
puis il m'a donné une application: calcul d'une convolution à résoudre graphiquement (il voulait pas d'intégrale) avec x1(t)= heaviside(t) et
x2(t)=exp(-at).heaviside(t)
puis il m'a donné la fonction de transfert d'un système causal: H(p)=(p-11)/(p+1)(p+2)+ RDC + réponse à une entrée sinusoidale u(t)=2sin(t)

2ème question
série de laurent en 3 de 1/z²(z-3)² + région de convergence + résidu en z=3 en utilisant la série de laurent évidemment + multiplicité de 3 (à pouvoir trouver grace à la série de laurent également) ...
Il donne comme indications: poser q=z-3 et dérivée de 1/(1-z)= 1/(1-z)²
personnellement, j'ai pas du tout utilisé ces conseils mais ça ne l'a pas du tout dérangé
puis il m'a posé des petites questions: fonction analytique?, dérivabilité ==> cauchy riemann

ben voila c'est tout...
bon courage à tous pour la fin

Post nº66 (id3238) envoyé par Nicolas le 29 Jun 2007, 22:00

Question 1:

Démontrer la formule de la transformée de Fourier d'un produit de fonctions.

Question 2:

Trouver le résidu de -1/((z-1)(z-2)) avec z autour de 2 à l'aide d'une série de Laurent appropriée.

Post nº65 (id3201) envoyé par KJB le 28 Jun 2007, 18:07

Question 1:
Enoncer Cauchy-Riemann et démontrer.
+ 1 petite condition pour avoir une CNS pour que f'(z0) existe
(il faut en plus que les dérivées partielles soient continues)
bref easy game

Question 2:
Deux systèmes mis en parallèle. Décrits par H1(p) et H2(p).
Donner la réponse impulsionnelle de la mise en parallèle des 2 systèmes:
h(t) = h1(t) + h2(t)
Donner la pente à l'origine de la réponse indicielle.
Trouver S(p)=H(p).1/p
Théorème de la valeur initiale en dérivant de chaque côté (pour avoir la pente à l'origine et non la valeur à l'origine)
Donner la réponse à une sinusoïde: sin(2t+5)
Formule générale avec |H(iw)| et phiH(iw)

Je ne connaissais pas grand chose pour la deuxième question mais apparemment il était content (il est trèèès vite content!) et sympa

KJB

Post nº64 (id3193) envoyé par Marie le 27 Jun 2007, 17:01

Comme Anne-Sophie, j'ai pêché deux fois le même numéro mais moi c'était le 6

Question de théorie : démontrez la première formule de Cauchy, et donnez les conditions sur f(z),c et z0. Facile, il suffit de retaper la démo du cours. Ensuite il te donne une intégrale à calculer mais on savait pas le faire avec Cauchy justement puisqu'il y avait deux pôles dans le domaine précisé => théorème des résidus, il m'a juste demandé ce que c'est un résidu et d'en calculer un des deux de l'intégrale qu'il avait écrit.

Question pratique : donnez la réponse impulsionnelle, sachant que H(p)= e(-pTau)/(p+a)(p+b) (systeme causal) et donnez les conditions sur a,b,tau pour pouvoir appliquer le theoreme de la valeur finale. Calculer la valeur finale de la réponse indicielle du systeme. Puis j'ai eu qq petites questions sur la stabilité, ou donnez la réponse pour une entrée sin(t)

Voilà, bonne chance aux derniers,
Marie

Post nº63 (id3182) envoyé par Anne-Sophie le 27 Jun 2007, 00:51

Hum, je vous assure que je veux pas polluer, c'est ma phrase qui ne veut pas passer... Je la remets une deuxième fois, si c'est toujours la même je vais finir par laisser tomber et désolée pour le bout qui manque ^^'

"pourquoi j'ai enlevé la valeur absolue autour de (d-|deltaz|) (parce qu'on suppose |deltaz| inférieur à d donc le résultat sera d'office positif).

Ensuite, calculer l'intégrale de 1/(z-1)² sur le contour |z-2|=3. On applique la formule de Cauchy pour n = 1 ce qui donne 2pi i f'(1) = 0 (dérivée d'une constante). Il m'a demandé ensuite comment le calculer autrement, j'ai dit par les résidus d'où c'est quoi un résidu ?"

En espérant que ce soit mon dernier post dans cette section ^^'

Post nº62 (id3181) envoyé par Anne-Sophie le 27 Jun 2007, 00:45

Il manque un petit bout au post précédent, et comme j'ai pas trouvé comment on édite, hé bah, c'est encore moi qui poste qqch :p

Pour la démo de la question 1, il manque la fin (et le début de la suite) :

"pourquoi j'ai enlevé la valeur absolue autour de (d-|deltaz|) (parce qu'on suppose |deltaz| c'est quoi un résidu ?"

On comprend mieux comme ça XD

Post nº61 (id3180) envoyé par Anne-Sophie le 27 Jun 2007, 00:30

Les voici les voilà, mes deux ptites questions ! Chance ou pas, j'ai pioché deux fois le jeton 7. Pour la seconde question, ça m'arrangeait, la première j'aurais préféré autre chose ^^'

First Question :
Démontrer que f' est analytique en z0 sachant que f est analytique en z0.

C'est la démonstration de la formule de Cauchy pour n = 2. Le principe (enfin, c'est ce que j'ai fait) est de démontrer que f''(z0) donne l'intégrale de machin, donc la dérivée de f' existe, donc f' est analytique.

Le début, c'est comme dans le cours (et le même principe que pour f'(z0) = intégrale...). Le seul problème que j'avais, c'était pour démontrer que le résultat obtenu est nul... Dans le cours, il ne l'indique pas, donc j'ai fait comme pour la démo précédente : |z-z0| >= d et |z-z0-delta z| >= d - |delta z|. Pour le dénominateur, ça donne donc quelque chose de similaire à la démo pour f'(z0), pour le numérateur je sais pas trop ce que ça donne, mais il ne s'y est pas du tout intéressé, donc... c'est passé sans trop de problème. Il m'a juste demandé un petit dessin pour |z-z0| >= d (j'ai fait un bête cercle autour de z0 en mettant un rayon d).

A côté de ça, il m'a posé des petites questions : qu'est-ce qu'une fonction analytique, comment je détermine mon chemin (chemin admissible fermé simple et la fonction analytique dans C U D (avec D le domaine intérieur de C). Il fallait aussi dire que z0 était dans le domaine considéré (mais ça c'était assez logique...)), pourquoi j'ai enlevé la valeur absolue autour de (d-|deltaz|) (parce qu'on suppose |deltaz| c'est quoi un résidu ? (coefficient de 1/z-z0 dans le développement en série de Laurent de f) -> quel est le domaine de convergence pour une série de Laurent ? (un anneau). Dans ce cas-ci, que vaut le résidu ? (0 déjà parce que ça doit donner le même résultat, ensuite parce que 1/(z-1)² est son propre développement en série de Laurent, donc on a pas de terme en 1/(z-1) -> le résidu est bien nul).

Ah et il m'a aussi fait un petit dessin pour la série de Laurent : deux pôles z0 et z1 dont il fallait dessiner l'anneau dans lequel la fonction serait analytique. J'ai fait un premier cercle autour de z0 (très proche) et un second autour de z0 mais passant par z1. Ca fait un joli anneau. Il demande juste quel est le rayon de convergence pour le premier cercle (le petit), il tend vers zéro.

Après toute cette série de petites questions, j'ai pu piocher mon second jeton number 7.

Deuxième question :
Ces systèmes sont-ils linéaires, permanents, stables ?

1) y(t) = 5 t u(t) -> linéaire, non permanent (à cause du t) et non stable (à cause du t : lorsque t -> infini, y(t) aussi même si l'entrée u(t) est bornée).
2) y(t) = sin (t) u(t) -> linéaire, non permanent (à cause du sin(t)) mais stable (sin(t) borné -> si on a une entrée bornée, la sortie sera bornée)
3) y(t) = intégrale de -infini à + infini de (u(to) exp 3(t-to) dt). On remarque que c'est le produit de convolution : u(t) * exp(3t). Qui dit produit de convolution, dit système linéaire et permanent. Par contre, il n'est pas stable (il tend vers l'infini lorsque t tend vers l'infini)

Il m'a demandé ce que c'était un système permanent. J'ai dit que si y(t) est la sortie correspondant à u(t), alors y(t-t0) est la sortie correspondant à u(t-t0). Et physiquement ? Il a commencé à expliquer "si par exemple je fais une expérience aujourd'hui" et j'ai direct répondu qu'on obtiendrait le même résultat le lendemain (décalé d'un jour dans le temps). Pour le 1) il m'a demandé de donner un exemple d'entrée bornée qui donnerait une sortie non bornée. Toute fonction est bonne mais il en voulait absolument une, j'ai dit sin(t) mais même une constante c'était bon en fait.

4) Système avec une transmittance isomorphe H(p) = 1/(p+11)(p+1) avec Re(p) > -1

On a une transmittance isomorphe -> le système est linéaire et permanent. De plus, les deux pôles sont -1 et -11, donc négatifs (et réels), donc le système est stable (avec la région de convergence donnée, on a un système causal).
Après, c'est un peu parti dans tous les sens, j'ai pas trop compris toutes les questions, d'ailleurs il n'a pas lu tout ce que j'avais écrit et m'a donc posé des questions pour m'amener à dire que l'axe imaginaire devait être dans la région de convergence (alors que je l'avais écrit ^^'). Il m'a demandé pourquoi j'avais ce résultat là (parce que la RDC était telle que le système était causal -> les pôles doivent être négatifs étant donné qu'on a Re(p) = 0 dans la région de convergence), ce que deviendrait la condition pour obtenir un système stable si j'avais un système acausal (les pôles devraient être positifs, puisqu'on aurait une région de convergence qui est un demi-plan gauche, et les pôles ne peuvent pas être dans la région de convergence). J'avais noté la condition de stabilité (intégrale de |h(t)| bornée) ce qui l'a amené à me demander à quoi ça correspondait également (c'est la première condition de Dirichlet pour la transformée de Fourier, donc on a H(iw) qui existe (si le système est stable donc)).

Il est ensuite passé à un exemple. Il m'a donné u(t) = sin(2t) et calculer directement le résultat. On applique bêtement la formule du cours : y(t) = |H(iw)| sint (2t + phi(w)). Pour calculer le module, aucun soucis, pour la phase il ne veut pas qu'on commence à distribuer le dénominateur, il faut utiliser le fait que argument d'un produit = somme des arguments. Dans ce cas-ci, on a phi(w) = - arctg (w/11) - arctg (w/1). Il demande ensuite de calculer y(t), en fait c'est juste pour voir si vous avez compris quel w prendre (ici w = 2).

Pour finir, il a longtemps hésité à me poser une question supplémentaire mais a décidé que c'était bon ^^

Sinon, que dire à part que c'est terriblement long... On passe son temps à attendre. Quatre personnes entrent au début et une nouvelle entre à chaque départ. Il y a trois salles différentes, une principale où deux personnes restent, une deuxième je sais pas où, et la dernière à l'étage (si vous n'aimez pas le sol qui craque à chaque pas sauf quand deux personnes se trouvent dans la pièce, essayez de l'éviter... C'est assez embêtant quand il n'y a pas un bruit autour de vous et qu'au moindre pas on entends "craaaaaack" dans tout l'étage...). Il ne donne pas les points directement non plus, il vous dit juste si ça a été ou pas et demande si vous avez réussi l'écrit.

Désolée pour le post super méga long, jme suis dit qu'il valait mieux dire trop que pas assez ^^'

Bon courage à tous ceux qui doivent encore passer cet oral ! On en ressort vivant, si si !

Post nº60 (id3155) envoyé par Rob le 26 Jun 2007, 17:06

Alors voilà je suis passé aujourd'hui, deux questions :

Question 4 :

Déterminer le domaine dans lequel Log z est analytique, et déterminer sa dérivée; j'ai mis tout ce que je savais, sans grande conviction et il m'a posé qqs questions, en m'aiguillant très gentiment lol. Après il m'a demandé de calculer l'intégrale de 1/(z-5)^3 sur |z-2|=8. J'ai utilisé la deuxième formule de Cauchy pour lui dire qu'elle était nulle, il m'a regardé du genre : "tu es sur?" avant de dire "ok".

Question 1: (aussi mis question 25)

On a un graphe de X(iw) (en triangle autour de l'origine), une fonction y(t)=(cos(t/2)+2*cos(5t))*x(t); on doit faire un graphe de la transformée de Fourier de Y(iw). Je savais pas trop comment faire le graphe, alors j'ai utilisé les propriétés pour obtenir la transformée de Fourier des cosinus, après le prof est venu il m'a posé des questions sur la stabilité, la réponse impulsionnelle...

Concernant l'examen, on a le temps d'apprendre sa question par coeur car c'est la seule occupation qu'on a après avoir écrit les 5 lignes de réponse...c'est très long comme déjà dit. Sinon le prof est juste dans sa cotation je pense, et très sympathique.

PS pour mon binome: j'ai fini euh nanananana.... (...)

Post nº59 (id3120) envoyé par Raph le 25 Jun 2007, 19:17

Première question

Calculer la transformée de Laplace de s(t)*q(t) (convolution) et dire ce que vous savez sur sa région de convergence,
A partir de ça il pose plein de questions sur la stabilité.
Quelle propriété doit avoir la région de convergence de H(p) pour que le système soit stable et pourquoi ?
Qu'est-ce qu'un système causal et que peut on dire de son domaine de convergence ?

Deuxième question

Calculer l'intégrale de f(z)=1/[(z^2+4)(z^2+1)] sur les contours
1) |z| = 1/2
2) |z| = 3/2

Utiliser Cauchy-Goursat pour (a) et les résidus pour (b).
A partir de là, il demande c'est quoi une fonction analytique. Il dévie sur les résidus et les séries de Laurent

Il est assez sympa, il vous arrête net si vous dites une grosse bêtise donc tant qu'il vous laisse parler c'est bon signe.

Post nº58 (id3088) envoyé par Saillemonne le 24 Jun 2007, 17:25

Pour la première question j'ai dû énoncer les équations de Cauchy-Riemann et montrer que c'est une condition nécessaire pour qu'une fonction soit dérivable (cela se fait avec la démo qui donne les équations).
Ensuite j'ai dû calculer l'intégrale de phi(z)/(z-z1)²(z-z2), j'ai fait ça par la méthode des résidus.
Il m'a demandé aussi des définitions du genre continuité, analytique, etc.

Pour la seconde question je devais donner la réponse impulsionnelle d'un système causal, calculer la valeur initiale de sa pente (par le théorème de la valeur initiale), calculer la réponse indicielle et la réponse à u(t)=3sin(2t+5).
Ensuite donner quelques déf comme système stable, causal,...

Je l'ai trouvé aussi assez cool mais par contre c'est beaucoup trop long, +-2h comme d'autres l'ont déjà dit.

Post nº57 (id3071) envoyé par La jeunesse le 23 Jun 2007, 16:18

Salamaleikoum

hier jai passé l'oral et j'ai eu:

-demontrer que si F(z)=int f(s) ds alors f(z) admet une primittive
la demo est dans le cours et il pose des petites questions pour voir si
ta pas betement retenu par coeur...

-Une fonction en créneau dont je devais donner la transformée de Laplace
avec les RDC (ces fameuses rdc...)

Ps: il etait sympa et quand j'avais un trou de memoire il me mettait sur la voie. No stress lisez bien son cours faites les TP et ca ira si Dieu Le veut.

Post nº56 (id3057) envoyé par chris - mr dik burns le 23 Jun 2007, 11:31

Alors mes questions étaient:

question 1 : theorie :
fiche 20 : definir la sortie y(t) dun SLP de réponse impulsionnelle h(t) à une entrée u(t). Demontrer Y(p) en fonction de U(p) et H(p).

Rien de bien compliqué, il faut maitriser RDC et stabilité il parle que de ca presque dans les questions subsidiaires (==> condition pr avoir H(iw)..)
+ question subsidiaire vicieuse : dirichlet est il vérifié pour sin(t) ==> non, pourquoi a-t-on tout de meme une trans. de Fourier? il faut dire en gros qu'on fait un dvpt en serie Fourier et kon a un coeff 2pi ki vien s'ajouter au dvpt de sin en exponentielle ==> 2pi (e(iwt)-e(-iwt)/2i) ==> (-pi/i)d(w-wo) ...

question 2 : exo :
fiche 1 : dvpt en serie de laurent de -1/(z-1)(z-2) dans les regions
1°) |z|>2
2°) 1 bien faire attention a ne pas faire le produit des dvpt mais bien transformer en (1/z-1) - (1/z-2) et faire la difference des dvpt

+ faire attention quand il parle de residu il faut bien prendre le coefficient de 1/z-zO du dvpt pr 0

Post nº55 (id3050) envoyé par David le 23 Jun 2007, 03:17

Bon moi j'ai eu la meme question que phi hai à savoir:

Première question:

Log z1z2 = Log z1 + Log z2
Log (exp z) = z

------

Deuxième question :

Vérifier le principe de l'argument pour les 2 fonctions:

1/ 1/z³ pour le contour |z|=1
2/ 2(z+1) pour le contour |z-3|=1

donc voila, l'exam dure longtemps, pour moi +- 2.00 mais c'est pask'il nous donne la question et se barre pendant 40 min chez les autres, mais sinon on passe seulement qq min avec lui donc le reste du temps on peut réfléchir, ou faire 47 fois le tour de la piece/table.

sinon lui il quand ca va pas il essaye vmt de tirer le maximum pour nous faire arriver ou il veut donc c'es plutot bien.

a part ca il la estimé que j'avais eu trop de question sur l'analyse complexe et pas théorie des systeme alors il la commencé à m'improviser quelques questions, il adore les régions de convergence , la stabilité/linéarité/permanence et moi il m'a demandé encore une p'tite question :

si on a une entrée u(t)= A cos(w0 *t) quelle est la réponse y(t) Cf formule du cours pour un SLP: y(t) : A |H iw0| cos (w0 t + Arg |Hiw|)

et la il m'a demandé si la formule la était tjr valable, il fallait répondre que ca doit etre un SLP en régime et stable après il m'a expliqué qq trucs et la fo faire semblant de capter ckil dit.

a part ca faites gaffe paske parfois il pose des questions genre "t'es sur que c'est vrai cke tu viens de dire", alors que c bon......

donc il est coule mais c pas notre big pot nn +.
a+ et bonne chance

Post nº54 (id3047) envoyé par Phi / Pito le 22 Jun 2007, 21:55

" VACANCES VACANCES VACANCES VACANCES " dixit le célèbre poète Nogues

[...]

Fiche 3:
Meme question que pour Ludo, pas compliqué y a moyen de la déglinguée comme il dirait...

Donc démontrer que
Log z1z2 = Log z1 + Log z2
Log (exp z) = z
Comme il l'a dit, ne pas oublier les conditions sur les arguments ( Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2 ssi -pi Résidus, première formule d'Euler, paramétrisation et faites un lien avec Log z en disant que Log z est la primitive de 1/z sur tout le contour sauf là ou Log z n'est pas analytique et juste lui dire qu'il y a moyen de calculer l'intégrale par ce biais en utilisant une limite... il ne veut pas en savoir plus de toute facon.

Fiche 9: 2 SLP en série dont on donne H1(p)=e^pt /(p+1) et H2(p)=1/(p+4)

a) Réponse impulsionnelle? h(t)=h1(t)*h2(t)

b) Condition de stabilité? Il adore cette sous question... faut balancer tout ce que vous savez...
-que Re(p)=0 doit appartenir aux RDC de H1 et H2
-que donc les parties réelles des poles doivent toutes être négatives
-que si H(p) est une fraction rationnelle, on peut la mettre sous forme d'une somme de fractions simples
-à partir de là, on peut retrouver h(t) par les propriétés des transformées de Laplace ( h(t) = Somme alpha . e^poles.t . nu(t) )
- lui dire que comme les parties réelles des poles sont négatifs, h(t) est bornée
- on retrouve que la réponse impulsionnelle est bornée => stabilité

c) Calculer la réponse y(t) au signal d'entrée u(t)=3.cos(2t)

Utiliser le fait que y(t) prend la forme de A|H(iw)|cos(wt+p) lorsque le signal d'entrée est de la forme A cos(wt)
Lui dire que dans les condtions de stabilité: H(iw)=H(p)
H(p) s'obtient en faisant le produit de H1(p) et H2(p)
Calculer le module et la phrase et c'est caisse.

d) Calculer encore un autre truc genre réponse indicielle ou un truc dans le style (surement en utilisant les propriétés) Il m'a dit que c'était ok et que j'pouvais me casser... Fallait surement utiliser toute sorte de propriété.. Il s'attend surtout à ce que vous fassiez cela plutot que de faire vos intégrales à la bourrin

Dans l'ensemble j ai pas eu de questions trop trop dégueux. Sinon, il etait bien sympa et essaye de vous mettre à l aise ("vous pouvez enlever votre veston et vous mettre tout nu...")

Ah ouais... si vous voulez relire un résumé, que ce soit le votre(ou pas) ou celui de John, et pas passer directement dans le premier pack de students ( il vient en prendre 4 ou 5 vers 8h20-25 si y en a deja ) ben préparez vous a bien glandouiller... il prend vraiment son temps et avant d'avoir le plaisir de voir le premier connard sortir de là en vous gueulant " chuis en vacances chuis en vacances " (SALUT LUDO!) il sera deja 10 h passées... donc que les Chris, LD ou autre spécimens videurs de distributeurs s'amenent avec de quoi bouffer et boire. J'devais passer le matin, il m a fait rentrer à près de midi et j suis resté jusqu a 2 h moins quart :x

Sinon c'est aussi un oral entièrement sur tableau... bien chiant il voulait pas qu'on écrive sur des feuilles...

Enfin bref, bonner merde.

Post nº53 (id3040) envoyé par Rob Bob Grosrob Grob le 22 Jun 2007, 19:46

Bon en gros j'ai eu:

THEORIE:

monter que: integral sur un contour ferme de f'(z)/f(z)=2*pi*alpha

avec f(z) fonction analytique sur son contour C et dans D
f(z) a un zero zo de multiplicite alpha

en gros on pose f(z)=g(z)*(z-zo)^alpha avec g(z) analytique sur C, etc... ET g(z0)!=0

calcule f'(z) par les formules bidons de derivees ((fg)' = f'g + g'f) =p

met f'(z) sur f(z), trouve g'(z)/g(z) + alpha/(z-z0)

integre tout ca, comme g(z) analytique et non nulle en zo et g'(z) analytique aussi (car derivee d'une fonction analytique sur C analytique elle aussi sur C) => Cauchy-Goussart et pour alpha/(z-z0) on utilise cauchy 1 avec f(z)=alpha, d'où f(z0)=alpha car constante et donc emballe c'est pesé, on a fini

il m'a pose qq petites questions sur serie de laurent apres (parce que j'etais un peu parti en bollocks sur theoreme des residus, serie de laurent) notamment sur la convergence du residus

PRATIQUE:

les systemes suivants sont-ils:
a) lineaire
b) permanent
c) stable

1) y(t)=5*t*u(t)
2) y(t)=sin(t)*u(t)
3) y(t)=integrale(u(TO)*e^(3*(t-TO))dTO) ==> remarquer de c'est le produit de convolution de y(t)= u(t)# e^(3*t)
4) transmittance isomorphe: H(p)=1/(p+11)(p+1)

Attention: plutot que partir en couille sur les integrales par rapport a la stabilite, voir plutot par exemple que si t->infini dans 1) pour u(t) borné, 5*t va quand meme partir en couilles donc pas stable (ouais bien dire que stable c'est un systeme qui donne une sortie bornée a une entrée bornée)

pour la transmittance, stabilite ok parce qu'inclue axe imaginaire

C'etait ca en gros, bien que j'ai une peu couille sur des petits trucs qq fois, il etait hyper cool et essaye plutot de te faire comprendre que de te massacrer pour rien

Il m'a dit que sortant que "c'etait pas mal du tout malgre l'un ou l'autre petit cafouillage" et les points sortes demain ou lundi au plus tard pour l'ecrit (je lui ai demande en sortant, je suis pas binome de marc pour rien... info sort lundi aussi d'ailleurs avec branlee generale pour la question 4 :p)

Post nº52 (id3034) envoyé par yussuf le 22 Jun 2007, 17:06

1. analyse complexe :
demo de la formule des résidus :

(m-1)
Res f(z)= phi (z0)
z=z0 -----------
(m-1)!

+ aplication : calculer le Res de f en son pôle :

(z-2i)
f(z)= -------
(3z-2)²

2. théorie des systèmes :

transformée trapézoïdale à calculer graphiquement
cf. post2 de Ludo

Post nº51 (id3022) envoyé par Vic le 22 Jun 2007, 12:51

1.- (Fiche 12) Soit C un chemin admissible fermé parcouru dans le sens positif. D est la région délimitée par C. f(z) est analytique et non nulle sur CUD, et possède un zéro de multiplicité alpha en z0 (z0 inclus dans D).
Montrer que l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) = 2*pi*i*alpha

(ça vient de la démo du principe de l'argument)

Poser f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha et ça va tout seul.

Sous questions:
- Enoncer le principe de l'argument + expliquer à quoi ça sert, etc.
- une autre façon de calculer l'intégrale sur C de 1/(z-z0) (sur laquelle on tombe en faisant la question principale) (j'ai dit résidus)
- qu'est-ce qu'un résidu (->serie de laurent)
- développement en serie de laurent d'une fonction ayant un pole en z0 (càd donner la formule) + domaine pour calculer le résidu.

2.- (Fiche 5) x(t) -> X(p) (transformée de laplace unilatérale). Calculer d'abord la transformée unilatérale de la dérivée troisième de x(t), puis calculer Lu(x(t)) avec x(t) solution de d³x(t)/dt³+6d²x(t)/dt²+11dx(t)/dt+6x=0 (entrée nulle). Les conditions initiales étaient données. Trouver la RDC.

Sous questions:
- Si on applique maintenant une entrée u(t), et que le système est au repos à l'instant initial, quelle est la fonction de transfert?
- Condition mathématique pour avoir un système stable. Et en pratique, avec les pôles de H(p)?
- Physiquement, quand un système est-il stable? (entrée bornée, sortie bornée)

Vous tirez une question au hasard, puis il vous laisse tout seul avec le tableau pendant 15-20 min (ou peut-être plus). Quand il revient, il faut lui exposer la résolution, et il enchaine tout de suite avec des sous questions qu'il faut répondre en direct.
Comme ça a été dit plein de fois (posts de 2005), il est très sympa, des coups de pouce pour les trous de mémoire, il essaye de voir si vous avez vraiment tout compris, et vous donne la bonne réponse en vous expliquant si vous avez mal répondu. D'ailleurs, si c'est un truc important, il fait la démo devant vous pour que vous ne l'oubliez plus jamais :-)

Post nº50 (id3019) envoyé par Ludo le 22 Jun 2007, 11:41

Comme les années précédentes, l'examen oral est composé de deux questions, la première d'ordre théorique et la seconde pratique. Mmmm ca a l'air bon!

fiche 3: Démontrer que Log(z1z2)=Log(z1)+Log(z2) et que Log(exp(z))=z,
où, Log(z) est la détermination principale du logarithme népérien.
---------------------------------------------------------------------------

La démo n'est pas compliquée en elle même, mais attention aux conditions nécessaires!
Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2) si ...
Arg(e^x*exp(iy))=y si ...
Ensuite il m'a demander de définir ce qu'est "une fonction analytique en un point"? Quelles conditions doit vérifier une telle fonction? Log(z) est-elle analytique. Pourquoi elle ne l'est pas sur l'axe réel négatif (parce qu'elle n'y est pas continue, mais pourquoi n'est elle pas continue? ... ). Est-ce que sin(z) est analytique (OhMyGod lol)?

* * *

fiche 2: Déterminer la transformée de Fourier de
x(t) = (sin(t)*sin(t/2))/(pi t²)
Indication: F(sin(Wt)/pi t) = 1 si |w| plus petit que W
0 si |w| plus grand que W
---------------------------------------------------------------------------

Décomposez x(t) en un produit de fonction f(t)g(t) du type de l'indication, déduisez-en leurs transformées de fourier F(iw), G(iw).
X(iw)=1/2pi F(iw)*G(iw) (convolution)
Pour la convultion je vous conseille de déterminer graphiquement
F(iT)G(i(w-T)) (5 intervalles à considérer, selon la valeur de w. Pour deux d'entre eux la fonction est identiquement nulle, pour les autres elle vaut pi mais pour différentes valeurs de T).
Ensuite on intègre par rapport à T de selon les bornes définies plus haut et pour chaque intervalle de w. Ca donne une transformée trapézoïdale.

* * *

Ensuite, il m'a demandé la réponse à une entrée sinusoidale d'un système caractérisé par une fonction de transfert H(p) (H(p)->H(iw) si ... ). Et finalement, il m'a demandé de définir et d'expliquer les courbes de Bode (oui les courbes de Dobe Thur :)).

Franchement il est vraiment cOoL, il m'a même proposé d'enlever mon veston :). Mais sachez justifier TOUT ce que vous faites. Sinon, ne pensez pas que c'est foutu parce que vous avez réussi (ou raté) votre question, car une flopée de questions subsidiaires bien sympathiques vous attend: L'apétit vient en mangeant (wtf)!

Bonne chance pour la suite guyZ,
Ludo.

Post nº49 (id1488) envoyé par mOttE% le 27 Jun 2005, 12:44

Question 5

Démontrez que toute fonction analytique s/ domaine simplement connexe D admet une primitive. Facile, rebalancez la démo du cours et sachez justifier que l'on a abs(s-z)
Application : intégrale de circulation de 1/z sur C:abs(z)=1. Que vaut la primitive de 1/z? peut-on calculer cette intégrale à partir du logarithme complexe? Cette fonction est-elle définie, continue, sur quels domaines? Comment calculer cette intégrale? (réponse : par 3 façons, 1) par le lemme qui permet de démontrer les formules de Cauchy, 2) par le théorème des résidus, 3) par une série de Laurent judicieusement exploitée). On trouve 1.

Question 6

Transmittance isomorphe H(p)=exp(-p*tau)/((p+a)(p+b), a et b réels, tau réel non strictement positif. Calculer (de deux façons différentes) la réponse impulsionnelle (mon petit conseil : d'abord par décomposition en fractions rationnelles, ensuite par la "formule d'inversion", pour vérifier car il faut faire attention aux glissements temporels) sachant que le système est causal (prendre le domaine de convergence Re(p)<-a, où a=min(a,b)).

Ensuite, quelles sont les conditions sur a b et tau pour que l'on puisse calculer la valeur finale de la réponse indicielle (par le 2nd théorême taubérien). Le mot-clé ici est HYPOTHESES D'APPLICATION (les connaître sur le bout des doigts). Vous trouvez a et b différents de 0, ce qui implique a*b différent de 0 et lim(t->infini) de y(t) vaut 1/a*b.

Subsidiaire : réponse à Asin(wo*t) (balancer une formule du cours). Ne commettez pas comme moi l'erreur de calculer la phase et le module de H(i*w) en bourrinant et en développant : revoir les propriétés de module et argument(s) de produits. Commentaire ici : "Vous connaissez l'expression tuer une fourmi avec un marteau?" (J'avais vraiment bourriné).

Bilan : malgré quelques petits cafouillages, je connaissais mes démos assez pour les réécrire sans y penser. Il avait l'air très content...

Post nº48 (id1420) envoyé par greg le 26 Jun 2005, 18:05

fiche 8 :
demontrer la que f(z) peut se mettre en série de TAylor.
Autres sous question:
- dessin de z-z0 et de s-Z0
- autre série pour f(z)? (oui Laurent)
- Théorème des résidus??
application a un calcul d'une intégrale.

fiche 7 :
5 système sont t ils permanent, linéaires, stables??
1) y=5t*u(t)
2) y=sin(t)*u(t)
3) y=int[u(tho)exp(3*(t-tho))Dtho]
4) H(p)=1/(p+11)(p+1) RE(p)>-1

j'ai eut qq question sur les liens entre les différentes expression de la stabilité car je métrisais pas cette matière

sinon il est très simpas et essaye de vous faire trouver ce qu'il veux par plusieurs petites question...
vala++

Post nº47 (id1483) envoyé par fab le 26 Jun 2005, 16:57

1) fiche 11: si phi(z) analytique et non nul en z0 et
f(z)=phi(z)/(z-z0)exposant m alors z0 est un pole d'ordre m
et le residu vaut phi(z) derivee m-1 fois sur m-1 factoriel.
donc on part avec phi(z) en serie de taylor puis on divise le tout par
z-z0 exposant m et on voit que f(z) estune serie de laurent et donc on
remarque que z0 est bien un pole et le residu est le facteur devant b1
comme dans le cours en fait
en déduire le residu de je sais plus mais c'était assez simple.
puis plusieurs petites questions comme integrale de 1/z dz avec
|Z|=1 par differentes methode

2) meme question que question2 post 46

Post nº46 (id1481) envoyé par K'Rhyme le 26 Jun 2005, 11:50

1) dom d'analycité de Log z et trouver sa dérivée ds ce dom.
il faut expliquer le dom, lui dire pq ca y est pas anal (paske ca y est pas continue) verifier les eq de cauchy riemman et continue ds son dom--> la dérivée existe et on la calul.
bon c une question simple donc apres il enchaine intégrale, residus,laurent, taylor, ... parcourt le cours.

2) un graphe pour lequel faut trouver la transformée de laplace.
c le mm que lexo 1 du tp 9 ms en beaucoup plus simple

Post nº45 (id1477) envoyé par khalido le 25 Jun 2005, 17:41

question 1 : enoncez cauchy riemann et demontrer que cela prouve l'existence de la derivé en z0 de f(z)

la c la demo de cauchy pour lui faire plaisir et puis il pose des kestion sur ca et il demande de l'appliquer a norme de z au carré pour trouver les points ou la derivé existe

question 2 : transfo de fourier de (sin(t) sin(t/2)) / pi t² ,
la j'ai rien compris au debut , mais il m'a rappeler que a transformé de fourier d'un produit donne la convolution de la transformer, donc on divise x(t) en deux partie sin t / t et sin (t/2) / pi t
on applique l'indication ki l fourni pour trouver les transoformé ,
et quand on a les deux transofmer ca sert a rien d'intergé il veut un dessin :s :s:s , il faut lui ecrire a definition du produi de convolution et faire le dessin des deux transformé et la faire la convolution sur le dessins en mutlipliant les deux fonction et en calculant geometrikement l'aire sous le resultats;
PS : a faire chez soi on sait jamais de tomber dessus beurkkkkkkkkk

question subsidiaire : un systeme H(p) discuter kan est cekil admet une transormé inverse et parler de stabilité , rayon de convergence ,

une integrale a effectué, serie de laurent, rayon de convergence de serie de laurent et de taylor

Bref il ballade partout , mais il est pas si sympa qu'on le dit : il te laisse pas reflechir ni meme ecrire, il te coupe et te repose une autre puis reviens sur la question : bref faut maitrisé et evité de dire des conneries

Bonne merde

Post nº44 (id1475) envoyé par Nat le 25 Jun 2005, 16:21

1er question : fiche 12 qui serait la même que 18 (à en croire ce qui était marqué) donc idem que Valérie :
"1) fiche 12: On a un contour C, sens positif, f analytique sur C et D (intérieur de C), et f a un zéro de multiplicité alpha dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz. Pour faire ça j'ai dit que f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha donc f'(z)=g'(z)*(z-z0)+g(z)*alpha*(z-z0)^(alpha-1). On divise les deux comme dans l'intégrale demandée, on aura le terme avec les g qui s annule car g et g' sont analytiques, et l'autre terme sera égal à 2*i*pi*alpha par Cauchy."

2e question :
calcul d'une transformée de laplace d'une fonction periodique dans on avait le graphe (en gros on détermine d'abord la fonction sur une seule periode puis sur toute donc multiplié par (1 +e^-2p +e^-4p +e^-6p + ...) si periode de 2 et qu'on peut remplacer si |e^-2p|<1 par 1/(1-e^-2p) ca ressemble tout à fait à un des exercices de la séance 8 ou 9

Pour le reste il pose pleins de petites questions surtout sur les définitions de base (fct analytique,stabilité,fct causal, ...)

Perso la démo ca a été plus ou moins et la deuxième bien il avait l'air de dire que c'était bon (sans être exceptionnelle :-) )

Post nº43 (id1470) envoyé par hmhm le 25 Jun 2005, 12:16

question 1:
démo du produit de convolution par fourier

question 2:

appliquer le principe de l'argument sur 1/z³ et 2(z-1)

je sais pas pour ceux qui le trouvaient sympa mais il laisse pas en placer une et il pose pleins de petites questions bien chiantes donc soyez pas trop happy si vs savez répondre à la fiche, le lynchage vient juste après =/

Post nº42 (id1461) envoyé par schrodi....mon ami le 24 Jun 2005, 21:06

question 1:
-----------

on a un SLP et bon on nous demande la sortie pour une entree u...c'est donc le produit de convolution de u avec h
ensuite demontrer la transformée de laplace d'une convolution avec rdc+dirichlet+c quoi causal+proprietes des systemes causals(rdc,stabilite,ect)+condition pour passer de H(p) à H(iw)+sortie du systeme a l'entree u(t)= 5 sin3t en precisant qu'il veut une reponse temporelle+pleins de questions sur les rdc (ce que ca signifie,pq pour tel ou tel systeme on a tel rdc, pour les causal pourquoi on a juste
R(p)>alpha+ ..c'est parceque alpha- est infini, il faut demontrer cela en separant X(p) en X+(p) et X-(p) )))

bref une petite question qui s'est vite transformee en un enorme bazar

Question 2:
-----------

verifier le principe de l'argument pour deux fonctions avec deux contours donnés...puis calculer une integrale ou g choisi d'utiliser cauchy et bon il fallait expliquer qq trucs sur cauchy comme le faiut qu'avec ca on ne peut calculer que lorsque qu'on a un seul et unique pole en z0

conclusion:
-----------

moi je n'ai pas eu besoin de son aide donc je peux pas vous dire si il est sympa ou non mais en tout cas aujourd'hui on aurait dit qu'il voulait absolument trouver un truc que je ne connaisse pas....il m'a lache pleins de petites questions vicieuses qui demande une comprehension accrue de tout le cours...c'etait genre un comme un defi entre nous deux.... comme quand le maitre qui se lassait de se battre contre des debutants avait enfin trouve une jeunot qui puisse lui faire tete...comme lors de ces grandes batailles ou tout a coup vous croisez le regard de l'ennemi pret a vous trancher la gorge...vous le haissez mais en meme temps vous entretenez avec lui une certaine relation d'"amitie" si je peux dire..car c'est lui qui vous permet d'atteindre l'apogee de votre art...

bon un pti schnoupage en couilles ou roubignoles (comme vous le voulez) avant la fin de cette année

Post nº41 (id1458) envoyé par Michawel le 24 Jun 2005, 20:52

j'ai eu deux kestion en analyse complexe today ,

1) soit un signal d'entrée u(t)=Acos(w0t) lorsque t--->vers - infini ...on demande de calculer la sortie de ce signal avec la transmitance isochrome --->H(iw) ki est donnée . Pour arriver au resultat final , il suffit de partir de la demonstration pour le cas en sinus mais en le remplacant par un cosinus . On trouve la transformée de fourrier du signal d'entrée ki est une fonction periodique ( U(iw)=2*pi*a(k).......) et pour le reste c'est comme la demonstration dans le cours sauf k'on ici un cosinus .

2) integrale f(z)dz avec f(z)=1/((z^2+1)(z^2+4)) dans les deux cas suivant :
a) le cercle de rayon 1/2 : dans ce cas ci l'integrale est nulle par cauchy goursat
b) le cercle de rayon 3/2 : appliquer le theoreme des residus et ne pas decomposer en serie de laurent car pour decomposer cette fraction en somme de fraction simple vu ke le denominateur est d'ordre 2 ca fait 4 coefficient a calculer trop long , le mieux est d'appliquer les autres theoremes de calcul des residus beaucoup plus rapide .. dans ce cercle il n'ya ke 2 residus en +i et en -i et en sommant les deux residus on trouve zero... voila

Post nº40 (id1456) envoyé par par coeur le 24 Jun 2005, 20:26

put1 on est maudit je suis passé today et c t trop hard....
demontrer que la derivee seconde d'une distribution est une fonctionnelle et que celle-ci respecte les conditions de dirichlet....exagere trop la folie.enfin pour la deuxieme c t + simple, demontrez le produit direct de 2 distributions.Je me suis fait arracher mais bon ca arrive bonne chance pr le reste. :-(

Post nº39 (id1451) envoyé par anonyme le 24 Jun 2005, 18:11

Moi j'ai vraiment pas eu de chance
question 1, demontrer que la fonction d heaviside est une distribution. Il nous donne pour celà un théorème qui nous indique que l integrale d une distribution est une distribution.
question 2, expliquer les courbes de bode et dire ce qui se passe si le systeme est non causal.
Perso j en ai pas touché une
Bonne chance aux autres

Post nº38 (id1442) envoyé par Laurent le 24 Jun 2005, 11:08

-1er question:

prouver que si f(z) en z0 est analytique alors f'(z) l'est aussi en z0 (lui redémontrer les formules de cauchy, il avait l'air d'avoir apprécier)
Questions subsidiaires: définir ce qu'est un résidus (plus expliquer les série de laurent) et ensuite résoudre une intégrale en utilisant le th des résidus (la je me suis un peu embrouillé)

2ème question:

X(p)=exp(-3p)/(p+1)(p+2)

trouver x(t)pour les diverses RDC
Suffit d'utilise l'équivalent du th des résidus pour les transformées de laplace.
Questions sub: expliquer les RDC et trouver la réponse indicielle (la, j'ai eu un gros trou, mais il m'a bien aidé et j'ai pu retrouver la def de la réponse indicielle)

Verdict: Vous maitrisez bien la théorie de la première partie, mais vous calculez lentement... Et la deuxième question fut un peu plus laborieuse... Ma ça devrait aller (ouf)
Il est vraiment très sympa et vous aide si ça ne va pas. Par contre, je ne pense pas qu'il donne les points facilement...

Post nº37 (id1436) envoyé par anonyme le 23 Jun 2005, 22:31

Quel est la transformée de Fourier de x(t)=x1(t).x2(t) (produit de fonctions) ?

Calculer la série de Laurent en 3 de 1/(z²(z-3)²)

Post nº36 (id1425) envoyé par GregLeMauve le 23 Jun 2005, 16:49

théorie
démontrer la propriété de symétrie de la Transposée de Fourier
démontrer que si x(t) est réelle et impaire, alors X(iw) est imaginaire
pure et impaire

exercice
une fonction (I forgot which one) à développer en série de Laurent dans 2 domaines

il est sympa mais ça dure très très longtemps (2h30 pour moi) et il fait très très chaud !!!

bonne chance à tous et vive les Mauves :-)

Post nº35 (id1424) envoyé par aline le 23 Jun 2005, 16:47

question 20: il s'interresse tres fort aux régions de convergence et il m'a demander de demontrer Y(p)=H(p). U(p) pour un système causal

question 6: calculer la série de laurent de 1/(z² .(z-3)²) autour de z=3 + region de convergence +calcul du residu en z=3 de 2 manieres
puis calcule d'1 intégrale grace aux résidus

Post nº34 (id1405) envoyé par kim le 22 Jun 2005, 13:00

Alors j'ai eu la question 19: ca concernait la stabilité
à partir d'un SLP et sachant que H(p) est une fraction rationnelle:

1)définir la stabilité pour le système
2)définir les CNS sur h(t) + démo sur une CS
3)démo sur les CNS de H(p)

Alors je ne connaissais pas la définition, il me l'a donné et j'ai veinement chipoté quelque chose...

Question 7 : vérifier le théorème de l'argument pour les fonctions suivantes

a) f(z)=1/z³ avec C: |z|=1
b) f(z)=2(z+1) avec C: |z-3|=1

Alors il faut d'abord expliquer T=Z-P
puis ensuite, écrire z en coordonnée polaire sur teta compris entre 0 et 2pi. Et là il faut compter le nombre de tour...

pour a) T=3
pour b) T=0

Je ne peux malheureusement vous en dire plus car j'ai pas étudié le cours... (sans commentaire)

Post nº33 (id1402) envoyé par fred le 22 Jun 2005, 11:19

Théorie:
(10) Théorème des résidus
bein la c'est dans le cours.

Pratique:
(2) donner la transformée de fourrier de ((sin(t).sin(t/2))/(pi*t²)
indication : F((sin(Wt)/(pi*t))= 1 si |omega| 0 si |omega|>W ... je crois
et la j'ai rien compris

Post nº32 (id1399) envoyé par X le 22 Jun 2005, 09:57

fiche 16:
---------

transformé d'un produit de convolution par laplace et domaine de convergence

questions sub:
Peut-on a voir l'infini comme domaine de convergence ?
Si on voulais remplacer p par iw quelles condition doit-on respecter?

comme j'avais pas repondu aux deux premieres questions il a change de sujet

reponse d'un systeme du genre exp(-3w)/(iw+1)(iw+4) a une entre du type
4sin( 2t)+5sin (7t)

comme j'y arrivais toujours pas on est passer a la question suivante

fiche 6:
--------

determiner le developement en serie de Laurent de 1/z²(z-3)² autour de z=3.donner le residu et la multiplicite du pole ainsi que le domaine de convergence.

indication:
poser q=z-3;
derivee de 1/1-z donne 1/(1-z)²

j'ai fais un raisonnement sur le tableau mais il etait faux cela dit il a poser des questions sub a savoir:

peut -on avoir un autre developpement autour de z=3? quelle serait sont rayon de convergence ?
Calculer une integrale tel que 1/z²+16 sur le contour [z-1]<3?
Comment calcul ton le residu d'une telle fonction ?

j'ai eut bcp de question sub probablement parce ke j'avais rater la gros question et que j'avais pas repondu a bcp d'entre elles

Post nº31 (id1390) envoyé par ALDO le 21 Jun 2005, 16:29

salut

fiche 20 comme vero : explique ce qu'est la RDC + expliquer le produit de convolution avec un schéma)

fiche5 : a) int circulaire de DZ/Z
1)|z|=1 (2pi*i)
2)|z-1|=1/2 (=0 cauchy goursat)

b)int circ dz/z (=0) (mms contours)

pour le b, il demande si on peut évaluer l'int avec une primitive=>oui et comme boucle=>int=0

voila, il m'a dit que je m'e, tirait pas trop mal

bons oraux(presque la fin!!!)

Post nº30 (id1388) envoyé par véro le 21 Jun 2005, 14:56

fiche 20: déterminer y(t) en fonction de h(t) et u(t) et ensuite démontrer la relation entre Y(p, U(p) et H(p) en précisant le RDC
questions supplémentaires: quel est la condition si le système est causal, et si il est stable.

fiche 1: donner le développement en série de Laurent de -1 / (z-1)(z-2) pour les domaine |z|>2 et 1<|z|<2
questions supplémentaires: comment calculer l'intégrale de 1 / (z³+1)?

Post nº29 (id1386) envoyé par The Lau le 21 Jun 2005, 13:16

- Cauchy-Riemann: énoncer et démontrer que CN pour existence dérivée de f en un point (sympa comme question, puis il a parcouru un peu toute la première partie, des résidus aux fonctions log et autres en passant par les séries de Laurent...)
- la transformée de Laplace X(p)=exp(-3p)/((p+1)(p+2)) détermine-t-elle univoquement x(t) -> non -> calculer x(t) (le faire pour les 3 RDC différentes, avec Re p qui est plus petit ou plus grand que le pôle) il suffit de faire un glissement puis d'utiliser la décomposition en fractions simples ou/et les résidus (comme on a le tps c bien de faire les 2 méthodes pour l'impressionner ;-) en fait il a pas trop été impressionné, il a posé plein de questions vagues et vastes sur la 2e partie (stabilité, courbes de bode...)
Au fait: il est trrrrrès méchant !!! ;-) haha, super sympa, vrt ("il fait chaud, tu peux laisser tomber la cravate et le veston et retrousser tes manches...")

Post nº28 (id1373) envoyé par Cédric le 21 Jun 2005, 11:25

fiche 14 :

Demontrer la relation pour la trasformée de Fourrier de : x(t)= x1(t)*x2(t)
<--> X1(iw)X2(iw)
comme dans le cours quoi.

Plus, - que se passerait t'il si au lieu d'avoir un produit de convolution on avait juste un produit.

fiche 4:

L'intégrale sur un coutour fermé de f(z)
-sur un contour ne contenant pas les poles
-sur un contour contenant les poles

Comment calculerait t'on l'intégrale si ce n'était pas un contour fermé?

Post nº27 (id1366) envoyé par ts le 20 Jun 2005, 19:29

fiche 10: th des résidus, def des résidus, apllication dans le calcul de transformée de Laplace inverse. Apllication pour 1/(Z^4 + 1) -> rechercher les poles et appliquer le théorème des résidus.

fiche 7:(exo) verifier si ces systèmes sont linéaires, permanents et stables pour 5tu(t), sin(t)u(t),une convolution et une transmittance isomorphe; puis il enchaine sur les courbes de bode...

Bon courage à tous

Post nº26 (id1363) envoyé par Marcel Strasberg le 20 Jun 2005, 18:25

Question 6:
Première formule de Cauchy

Question: qu'est que vous utliseriez pour calculer int (dz/(z-1)²): seconde formule de cauchy. C'est égal à quoi? 0.
Existe t i quelque chose d'autre pr le calculer? oui formulse des résidus.
Utilisez-la 1/(z-1) est sont propre développement en série de laurent pr |z|<1.

Question1=Question 25????
La même que Jon avec le triangle.

Questions: vous utilisez la propriété de produit devient une convolution, existe t il une réciproque ? oui produit de convolution<-> produit de trsfo de fourier.
A quoi servent les produits de convolution pour un slp? y(t)=u(t)*y(t)
Stabilité d'un systeme... Parlez-moi des courbes de bode

Voilà merci

Post nº25 (id1356) envoyé par Lau le 20 Jun 2005, 15:24

question 1: transformée d'une convolution + conditions de dirichlet + stabilité+ courbes de bode (utilité : on a la gain et la phase pour toute frequence donc si entrée sinusoidale on connait la sortie !)
question 2 : developpement de laurent de 1/ z²(z-3)² (il donne des indications)
calcul de integrale de dz/1-z³

Post nº24 (id1355) envoyé par Raph le 20 Jun 2005, 14:53

Question 6 (catégorie résidus et cauchy...)
formule de cauchy:
énoncer les hypothèses sur f(z), C et z0 ( bonus track: énoncer celle sur C0)
démontrer la formule (1ère)
intégrale sur C de dz/ zcube+1 où C tel que |z-1|=1
ce qui vaut zéro paske les points zéros sont extérieurs au contour C

Question 7 (catégorie systèmes)
dire si les systèmes suivant sont : linéaire, permanent, stable
1) y(t)= 5*t u(t)
linéaire et non permanent, pas stable paske si on prend u(t) = heaviside(t)
on remarque que y(t) n'est pas borné

2) y(t)= sin(t) u(t)
linéaire et non permanent et stable paske sin(t) borné (en utilisant le meme stratagème que au dessus)

3) y(t) = int(|-infini à +infini) de u(tau) exp(3(t-tau))dtau

linéaire et permanent
ici il faut utiliser la définition de la stabilité int(-infini à +infini) de |h(t)| inférieure à l'infini

4) H(p) = 1/((p+11)(p+1)) Re(p)> -1

linéaire et permanent d'office car SLP
stable car les poles sont hors RDC

Voilà, il est très sympa mais il faut connaitre les justifications et penser à tout

Post nº23 (id1309) envoyé par Nico le 17 Jun 2005, 19:29

Q22 : reponse d'un système dont on connait H(iw) à l'entrée cos(w0t + theta0) avec w0 et theta0 réels positifs et sachant que le signal est appliqué depuis moins l'infini

question subsidiaire : stabilité d'un tel système (dirichlet, dire pourquoi la partie réelle des poles de H(p) doit être négative)

Q6 : Calculer le dev de laurent de 1/(z²(z-3)²) autour de 3, puis calculer le résidu en z=3, donner l'ordre du pole et le domaine de convergence. Il vous donne d/dz(1/(1-z))=1/(1-z)² et vous indique qu'il faut poser q=z-3

questions subsidiaires : intégrale circulaire de cette meme fonction sur le contour |z-1|<1/2 puis |z-1|<3/2 (Cauchy goursat puis cauchy)

Post nº22 (id1305) envoyé par deeeeeeeeeeeeeeeg le 17 Jun 2005, 17:51

fiche16
produit de covolution par la transformer de laplace

fiche 2
calcul du residu pour f(z)=-1/(z-1)(z-2) outour de z=2

enorme trou :-(

le prof m'as carrement dis que je n'aurais meme pas la moyenne telment g t naz
tent pis mais franchement g deconnait car plus facile que ca tu meurs

Post nº21 (id1291) envoyé par Valérie le 17 Jun 2005, 15:27

1) fiche 12: On a un contour C, sens positif, f analytique sur C et D (intérieur de C), et f a un zéro de multiplicité alpha dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz. Pour faire ça j'ai dit que f(z)=g(z)*(z-z0)^alpha donc f'(z)=g'(z)*(z-z0)+g(z)*alpha*(z-z0)^(alpha-1). On divise les deux comme dans l'intégrale demandée, on aura le terme avec les g qui s annule car g et g' sont analytiques, et l'autre terme sera égal à 2*i*pi*alpha par Cauchy. Il m'a ensuite demandée comment on calculerait l'intégrale de 1/(z^3+1) sur le contour |z|=2. C'est par le théorème des résidus, et il faut expliquer le truc avec les phi etc.

2) fiche 6: H(p)=exp(-p*tho)/((p+a)*(p+b)). Calculer la réponse impulsionnelle. Donner les conditions sur a b et tho pour l'utilisation du théorème de la valeur finale. L'utiliser pour calculer la valeur asymptotique de la réponse indicielle du système. Quelle est la réponse à l'entrée u(t)=4sin(5t).

Post nº20 (id1277) envoyé par steph le 17 Jun 2005, 11:56

voilà, j'ai eu l'oral ce matin:
1)équations de Cauchy-Riemann+ démontrer que c'est une condition nécessaire du fait que la fonction est dérivable en z0
2)des systèmes où je devais déterminer s'ils étaient linéaires, permanents, stables. parmi eux, des sytèmes disons normaux, une convolution et un H(p)=... la dessus il a enchaîné sur des questions au sujet de H, notemment ce que ça donnait si le signal d'entrée était sinusoïdal...
il m'a dit que globalement ça irait mais que ça ne rattraperait pas mon écrit!
je pense qu'il est sympa mais ne donne vraiment pas les points et s'il se braque sur un petit truc au début de la démo, il regarde mê pas la suite.

Post nº19 (id1267) envoyé par bbK le 16 Jun 2005, 21:11

fiche22: on donne H(iw) transmittance ischrone et il faut calculer la réponse au signal d'entrée u(t)= A.cos(w0+theta0) avec w0 et théta0 des réels positifs.

fiche5: sur les chemins C:
a)|z|=1
b)|z-1|=1/2
calculer les intégrales sur C (contour fermé) de:
1)1/z
2)1/(z^3)
subsidiaire: -peut on calculer la deuxième intégral d'une autre
façon qu'on utilisant le théorème des résidus?
--->utiliser une primitive de 1/(z^3)
-peut on faire de meme avec le première intégral?
si non pkoi?

Post nº18 (id1264) envoyé par anonyme le 16 Jun 2005, 20:26

Théorie 17:
-démontrer que la transformée de fourrier de(conjugué de x(t))=conjugué de X(-iw)
-démontrer que si x(t) est réelle et impaire, alors X(iw) est purement imaginaire et impaire. ( pas oublier de modifier les bornes dans le changement de variable ).

Il m'a demander ensuite quel était la réponse d'un système dont il donne la transmittance H(iw)=e^(-iwtau)*1/(iw+a) ( tau,a € R+ ) , pour un signal d'entrée u(t)=3*sin(2t); j'ai proposé de jouer avec la convolution, mais il voulait quelque chose de plus rapide...je savais pas du tout; et il m'a demandé de calculer |H(iw)| et arg(H(iw)) ???

Pratique 6:
-Série de Laurent de la fonction f(z)=1/(z²(z-3)²) autour de z=3; il donne des indications pour aider. Il demande aussi de donner le résidu de la fct (: c'est b1) et le domaine.

Série de Laurent de 1/(1-z) = somme sur n de z^n (|z|<1) . Il donne que
1/(1-z)² est la dérivée de 1/(1-z) => on peut déduire sa série de Laurent en dérivant celle de 1/(1-z) : c'est somme sur n de n*z^(n-1) (|z|<1).
De la on peut trouver la série de Laurent de la fct 1/(3-z)² ( comme au tp...).

Ensuite, il m'a demandé de calculer une intégrale sur un contour en utilisant les résidus : => théorème 7,8.

Faut tout connaître de ce cours, car il risque de se ballader partout. Et autre chose très importante, se souvenir un minimum de ses tps ( si vous trouvez que c'est loin, revoyez un peu ).

Post nº17 (id1255) envoyé par titi le 16 Jun 2005, 18:43

hello,
bon ben dabord je ne sais pas prk mais g eut deux kestions pratiks!!!!alors faites gaffe et refaites vos tp...pas comme moi:p
1°kestion: calculer la réponse du système avec une entrée "Acos(w0t)" et H(iw)...faut faire ça avec les impulsions de dirac car les fonctions ne vérifie pas dirichlet(ya un exo similaire ds les dernière séances de tp).vu kjarrivais a rien faire il a vaguement posé kelkes kestions théorik mais kasi rien (condition de dirichlet)

2° kestion:calculer des intégrales soit par cauchy goursat,soit par cauchy...et une intégrale sur un contours non fermé(faire avec la primitive).

vu kya kelkun ki est passé aujourdhui et ki a pas le net,je vous transmet ses kestions:
1° théorème de la valeur finale
2°calculer les résidus et l argument de 1/((z-8)^3),voila le seul truc +- compliké est de savoir trouver les racines

sinon c est vrai kil reste très sympa meme kan vous faites un oral lamentable...mais bon sympa veut pas dire donne les points!

Post nº16 (id1252) envoyé par Ali le 16 Jun 2005, 17:52

voici les queston que j'ai eu ce matin:
1- il y avait 2 chose à démontrer:
a-) le conjugué de x(t) ---F---> le conjugué de X(-iw)
b-)si x(t) est une fct reélle impaire, alors X(iw) est une fct purement imaginaire et impaire.
J'ai eu comme questions auxiliaire la réponse d'un système avec comme entré une sinosoide. (aussi une sinosoide)

2- trouver par la méthode de la série de Laurent le résidue de
f(z)=-1/((Z-1)(Z-2)) pour z=2

Voila et comme mentionné précedement il est treeees sympa.
Bonne bloc pour tous

Post nº15 (id1250) envoyé par Henri le 16 Jun 2005, 16:56

théorie: fiche 6: démontrer la première formule de cauchy,questions en plus:calculer une intégrales sur un contour C |z|=1/2,avec ds ce cas toutes les racines extérieure à C => intégrale=0;même problème pour |z|=3/2;ne pas la calculer,juste expliquer comment procéder;cf résidu.
exercice: fiche 8: a) calculer la réponse impulsionnelle d'un système en parallèle=> y(t)= h1(t)+h2(t).
b)pente à l'origine de la réponse indicielle du même système avec H1(P) et H2(p) données(je me rappelle plus des valeurs exactes...)
c)réponse du mëme système avec u(t)=3.sin(2t+5)
avec en plus des petites questions sur les courbes de bode.
voilà,comme tout le monde je l'ai trouvé très sympa.
bon courage à tous.

Post nº14 (id1214) envoyé par shahriar le 16 Jun 2005, 12:45

salut tlm!

alors j'ai eu

1)
montrer que pour une fonction réelle impaire, la transformée de Fourier est imaginaire pure et impaire. cette question est tres simple, mais en fait il passe environ 20min à poser plein de questions sur chaque ligne que vous avez ecrit sur le tableau.

2)
exercice sur le theoreme de l'argument. idem que les fonctions postées par Alexandre...

voilà, un dernier truc: il faut vraiment savoir expliquer intégralement tout ce que vous écrivez au tableau. (ou expliquer ce que vous sautez comme étapes...). donc n'apprenez rien betement par coeur, vous n'irez pas loin avec ca...

courage à tous,
sha

Post nº13 (id1207) envoyé par anonyme le 16 Jun 2005, 10:49

Question "Première partie" :
----------------------------

Déterminez le domaine sur lequel Log z est analytique. Déterminez ensuite sa dérivée sur ce domaine.

En plus, il m'a demandé si ce calcul de dérivée me permettait de calculer l'intégrale sur un cercle de la fonction 1/x (dérivée de Log z) et si non, comment. La réponse est non bien sûr, il faut utiliser le théorème des résidus.

Question "Deuxième partie" :
----------------------------

On reçoit un schéma avec deux systèmes en parrallèle du fonction de transfert H1 et H2.
a) quel est la réponse impulsionnelle du système ?
b) sachant que H1(p)=... et H2(p)=... sont les fonctions de transfert de deux systèmes causals, quel est la pente à l'origine de sa réponse indicielle.
(note : Il ne faut pas calculer explicitement la réponse indicielle, il y a moyen de trouver cette pente en calculant directement la transformée de Laplace de la réponse indicielle puis la transformée de Laplace de sa dérivée)
c) si l'entrée est 3sin(2t+5), quelle est la sortie ?
(Il suffit de travailler avec le module et la phase de la transmittance asynchrone --je crois--)

Post nº12 (id1199) envoyé par Jonathan le 16 Jun 2005, 00:27

Comme prévu, deux questions : une de théorie et une de pratique. On s'amène par quatre dans son service et on tire un petit numéro entre 1 et 22. Et là, c'est parti pour deux heures de bonheur, voire plus...

Question théorique : démontrer que le développement en série de Taylor d'une fonction analytique sur un disque ouvert D est donné par .. serie[an (z-z0)^n]
Donc rien de bien sorcier, il faut faire comme dans le cours en partant de la première formule de Cauchy où on modifie s-z en (s-z0)(1-alpha) et puis on développe le tout. Après ça, on montre que le reste converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini et on utilise la formule de Cauchy généralisée à la dérivée n ième pour trouver que tous les termes de la série de Taylor.

Petit détail mais sur lequel il avait l'air de tenir : le contour C qui est utilisé dans la première formule de Cauchy est un contour qui est DANS le domaine D (le disque est ouvert mais il contient tout de même ce contour, ce n'est pas un contour qui "entoure" le disque en-dehors de celui-ci).

Question subsidiaire : que vaut l'intégrale circulaire de dz/(z^4) sur un contour C défini par |z-5|=4. Pour ça il faut juste remarquer que l'unique pole de la fonction (c'est-à-dire 0) n'est pas inclus dans le contour C et donc par le théorème de Cauchy-Goursat l'intégrale est nulle.

Il doit passer chez les 4 personnes et si il voit que vous avez pas fini, il va voir chez un autre. Donc à priori vous avez vraiment tout le temps qu'il faut. J'ai eu le temps d'avoir un gros trou de mémoire pendant une bonne dizaine de minutes et de tout écrire ensuite, donc ça donne une idée ;)

Question pratique : là c'était relativement un sale truc auquel je m'attendais pas du tout. On donne le graphe d'une transformée de Fourier X(iw) de x(t). En gros vous représenter cette transformée, vous prenez trois points (-1,0), (0,1) et (1,0) et vous les reliez par deux droites. A partir de ce X(iw), on demande d'esquisser graphiquement la transformée de Fourier de la fonction y(t) = (cos(t/2) + 2cos(5t))*x(t)
Donc là j'ai commencé à vouloir déterminer X(iw) analytiquement et trouver ensuite sa transformée inverse x(t), mais c'était assez horrible et quand il a vu ça, il m'a dit "la transformée d'un produit, ça te dis quelque chose?". Donc pensez d'abord aux propriétés avant de vous lancer dans des calculs horribles ^^

On pose donc s(t) = cos(t/2) + 2cos(5t) et on a la propriété suivante :
s(t)x(t) <-> S(iw)*X(iw) / 2pi
Pour trouver cette convolution il faut d'abord S(iw) et donc utiliser la formule d'une transformée d'un cosinus : F(cos(w0t)) = pi*delta(w-w0) + pi*delta(w+w0)
Appliqué à la fonction s(t), on obtient donc un graphe avec quatre impulsions en -5, -1/2, 1/2 et 5. On calcule ensuite la convolution :

S(iw)*X(iw) = int( S(iW)*X(i(w-W))dW )
On a donc quatre régions dans lesquelles ce produit ne sera pas nul. Pour cela, il faut déplacer le graphe / de X(iw) et voir les régions où il coincide avec une impulsion. C'est un peu chaud à expliquer par écrit, mais ces régions sont : [-6,-4], [-3/2,1/2], [-1/2,3/2] et [4,6]
Dans ces régions uniquement, le produit de convolution ne sera pas nul et vaudra la valeur de X(iw). Cette valeur sera pondérée par 1 ou 1/2 selon la région dans laquelle vous êtes, mais vous devez faire ça graphiquement pour y voir quelque chose...

Le graphe final donne grosso modo ceci : anac_oral_jon.pdf

Questions subsidiaire : donner la sortie d'un système où l'entrée est un signal sinusoidal sachant que la transmittance isochrone est H(iw) -> idem que dans le cours et il faut rien démontrer, juste donner la réponse finale. Autre question : définir dirac à partir d'une définition rigoureuse (et pas à partir des distributions, ça il s'en fout apparemment ^^)

Voilà, bravo à ceux qui auront eu le courage de tout lire ;)
Bon courage. Il est franchement sympa et il aide en cas de souci.

Jon

Post nº11 (id1195) envoyé par anonyme le 15 Jun 2005, 20:17

1ere question : montrer que la dérivée d'une série de puissance est ce qu'elle est (avec une indication pour aider)
+ questions subsidiaires du style région de convergence de la série de puissance… et si y a des puissances négatives ? puis de là, il m’a amené aux séries de Laurent puis le résidu… rien de bien compliqué

2e question : donner la transformée de laplace unilatérale de la dérivée 3è de x par rapport à t, appliquer ensuite sur une EDO
+ questions subsidiaires : réponse indicielle, réponse impulsionnelle…

un peu plus de détails dans le fichier envoyé sur la ML

bon travail

Post nº10 (id1194) envoyé par Fab le 15 Jun 2005, 19:47

1. Prouver que si f est analytique en zo, alors f' est analytique en zo.
Je pataugeais un peu en essayant divers trucs, il m'a dit de partir des formules de Cauchy et de leurs hypothèses et m'a laissé terminer.
Après il a posé quelques petites questions sur les résidus (définition et explication) et les séries de Laurent (domaine et hypothèses)

2. Determiner la transformée de Laplace de la fonction y(t) représentée (yavait un petit dessin). La fonction c'était: 0 pour t<0, 1 pour t compris entre 0 et 1, entre 2 et 3, entre 4 et 5, etc... et 0 ailleurs (-> sorte de signal en créneau)
Ensuite petites questions générales: C'est quoi la fonction de transfert, la réponse impulsionnelle, la convolution, la transformée d'une convolution, etc...

Ce qu'il faut savoir, c'est que si vous faites pas comme il attend (mais que malgré tout ce que vous avez marqué est correct), il vous dira comment transformer pour arriver à ce qu'il veux mais il ne vous dira pas que c'est une mauvaise méthode.
Il est très gentil, il aide si vous êtes coincés.
Il m'a dit "je ne connais pas vos points de l'écrit, je ne veux pas être influencé (merci mon dieu!), mais normalement y aura pas de problème."

Voili voilou
Bon courage à tous

Post nº9 (id1190) envoyé par jean le 15 Jun 2005, 17:29

1ère question: démontrer la formule des résidus:

f(z) = phi(z)/(z-z0)^m où phi est analytique est non nulle en z0
=>
z0 est un pôle d'ordre m de f
et
Res_{z=z_0} f(z) = phi^{(m-1)} (z0) / (m-1)!

Il faut écrire le dévt de taylor de phi puis diviser par (z-z0)^m et puis parler de Laurent, b_m != 0 => ordre m et b1 = ... donc la formule est OK

Question subsidiaire: calculer l'intégrale sur contour fermé C de 1/(z-1).dz où C est donné par |z-10| = 3; donc on remarque que la fonction est analytique dans et sur le contour (car le pôle est en dehors) donc l'intégrale est nulle.

2ème question: calculer la transformée de laplace et sa région de convergence pour une fonction nulle en t<0 et en créneaux pour t>0 (càd y(t) = 1 pour t appartenant à [0,1] + 2*n, n >= 0 et y(t) = 0 pour t appartenant à [1,2] + 2*n

En gros d'abord calculer la transformée d'une seule période en écrivant y comme combili de fonctions d'heaviside + glissement dans le temps
puis écrire pour les périodes suivantes par glissement dans le temps; remarquer qu'on a une série géométrique de raison r avec |r| < 1 et donc qu'elle converge vers 1/(1-r) et voilà! (je crois que c'est un peu comme dans un tp)

Questions subsidiaires:
1* comment caractériser un SLP par une fonction? ----> H(p)=L(h(t))
2* en termes de transformées de Laplace ça donne quoi? Y(p) = H(p)U(p)
3* on peut repasser à la transmittance isochrone? oui si Re(p) = 0 est dans la RDC alors Y(iw) = H(iw) U(iw) ("w" = oméga)
4* qu'est ce qu'on peut dire de la réponse d'un tel système à une entrée sinusoidale? (il te donne un exemple genre u(t) = 2 sin 3t), écrire la sortie
5* comment est ce qu'on peut représenter cela? ---> courbes de bode, gain, déphasage
6* il te donne une courbe de bode ---> sachant que oméga = 3, que peut on dire de la sortie par rapport à l'entrée? remarquer que 20*log |H| = 0 d'où gain unitaire.

Voilà, bonne merde à tous

Post nº8 (id1187) envoyé par Amo le 15 Jun 2005, 17:15

question 1)

Enoncer et demontrer le thm des résidus
Definir un résidu
Expliquer son application au calcul de la dérivée de laplace inverse.

question 2)

la transformée de laplace inverse de exp(-3)/(p+1)(p+2) est elle univoquement définie ? calulez-la (les)

(développer en fct des RDC)

Post nº7 (id1186) envoyé par Mag le 15 Jun 2005, 16:59

Première question :
Si f(z) = u (x,y) + i v(x,y), w0 = u0+iv0
Démontrer que lim f(z) si z->z0 = w0 ssi lim u(x,y) si (x,y)->(x0,y0) = u0 et lim v(x,y) si (x,y)->(x0,y0) = v0.
Sachez bien expliquer chaque étape. Il ne laisse pas passez un égal sans explication.
Ensuite il m'a demandé qu'elles étaient les conditions sur u et v pour pouvoir avoir f'. Il fallait lui répondre que dérivée de u par rapport à x, par rapport à y, la dérivée de v par rapport à x et y devaient exister, devaient etre continues, et devaient respecter cauchy riemann.
Il m'a demandé ensuite si f(z)=|z|² était dérivable. Il fallait donc la décomposer en u et v et appliquer cauchy riemann pour vérifier qu'elle ne l'est qu'en (x,y)=(0,0).

Dexième question : Lu étant la transformée de Laplace unilatérale. Que vaut Lu(d³x(t)/dt³). Il faut lui répondre : p³X(p)-p²x(0)-px'(0)-x''(0).
Appliquer pour d³x(t)/dt³+6d²x(t)/dt²+11dx(t)/dt+6x=0. Vous obtenez donc X(p)=(p²+5p+6)/(p³+6p²+11p+6)=1/(p+1). Il vous demande le RDC, qui est ici >-1. Il veut savoir ce que vaut x(t). x(t)=exp(-t)heav(t).
Ensuite il m'a demandé si mon système était linéaire et permanant (donc les cond nulles) et qu'il appliqait un truc ... je sais plus quoi ... mais le truc c'était qu'il fallait ajouter 1/p dans l'équation en X(p). On obtenait donc X(p)=1/(p(p+1)(p+2)(p+3)). Et la pour finir il m'a demandé comment se comportait x(t) à l'infini. Réponse voir Th Taubériens (il faut bien connaitre les conditions pour pouvoir l'employer)

Bonne chance aux autres (en espérant que ca vous aidera)

Mag

Post nº6 (id1180) envoyé par Alexandre le 15 Jun 2005, 14:45

Théorie: produit de convolution, ce que ça donne avec les transformées de Laplace(+RDC), démontrer à partir du produit de convolution que Y(p)=U(p)H(p)

Exercice: Appliquer le principe de l'argument aux fonctions suivantes et montrer que ce principe est vérifié pour ces deux fonctions:

a)f(z)=1/z³

b)f(z)=2(z+1)

Post nº5 (id1177) envoyé par Julien le 15 Jun 2005, 14:24

- fiche 11: démontrer le théorème 7 sur les résidus
- fiche 27: idem exercice 1 du TP9

Post nº4 (id1171) envoyé par matth le 15 Jun 2005, 11:46

Perso j'ai eu en théorie: démontrez la formule de la transformée de fourier de x(t) qui est égal à la convolution de x1(t) et x2(t).
Ensuite il a dévié sur dirichlet (conditions ) et sur la convolution: c'est quoi, çq sert à quoi, comment la calculer graphiquement...après il est parti sur les courbes de bode aussi.

En pratique: calcul de l'intégrale de 1/z et de 1/z^3 sur deux contours différents (C:|z|=1 et C2: |z-1|=1/2)...avec laurent et cauchy goursat voire cauchy c'est pas très compliqué non plus.

Petite précision, il ne connait pas vos points d'écrit avant de mettre sa note d'oral.
Franchement vu qu'il est très sympa et qu'il laisse le temps de réfléchir, y'a vraiment moyen.

Post nº3 (id1169) envoyé par Manu le 15 Jun 2005, 11:06

Voila il ya deux questions : une de théorie, une d'exercices :
Celle de théorie, j'ai eu la démonstration de la limite d'une fonction (p5 du cours)
En exos, trouver la réponse impulsionnelle de H(p)
avec H(p)=exp(-pu)/(p+a)(p+b) avec u réel positif et a et b réels.
On suppose le système causal.
Puis y fallait trouver la valeur asymptotique de la réponse indicielle en spécifiant les conditions sur a, b et u pour qu'elle existe.

Donc globalement c assez simple, pour autant qu'on ait refait les exercices ( ce qui n'était pas mon cas :-( )

Derniere remarque : si vous tirez une question signaux en théorie, vous aurez une question sur la premiere partie en exercice. Et inversément...

Voila bon courage a tous !

Post nº2 (id1163) envoyé par ccrroooollll le 14 Jun 2005, 21:25

j'ai eu donc 2 questions :
- montrer que l'intégrale circulaire de f'(z)/f(z)dz=2*pi*i*B ou B est la mutliplicité du pole p0 de f(z). f est analytique sur et dans C (le contour)... Il veut qu'on sorte une ptite série de laurent...
- donner la réponse impulsionnelle de e^(-pT)/((a+p)(b+p)). dire quels sont les hypothèses de départ du théorème asymptotique et donner la valeur de la réponse avec t->infini

il est suuuppraaa sympa !! il essaye vraiment de te repecher si t'es un peu perdu !! il met a l'aise (du genre "tu peux enlever ton veston " !). enfin, vraiment sympa quoi ! mais il donne pas les points direct...ce sont ses premiers oraux...

Post nº1 (id1162) envoyé par ariane le 14 Jun 2005, 20:48

j ouvre le bal...
alors il y a 2 questions, une de theorie puis un exo
en theorie il m a demande de demontrer qu une fction reelle impaire a une transfo de fou impaire imaginaire pure et l exo c t un dvpt de laurent ou il fallait donner le residu
les questions des autres ainsi que la mienne ressemblaient tres fort aux questions de theories posées lors des ecrits des exam precedents dc petit conseil aller faire un tour sur le site de jon
dernier piti truc, il est tres sympa

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