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Analyse complexe 2008 (42) :: post
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Post nº42 (id3852) envoyé par HiLL le 30 Jun 2008, 22:04

Salut, je suis l'un des tout derniers à passer..

1ère question:
--------------

Démontrer que:

Lim f(Z)=w0 ssi Lim u(x,y)=u0 et Lim v(x,y)=v0
avec w0=u0+iv0 z=x+iy

c'est simple, il faut tapper la démo dans le cours.

Questions subsidiaires:
-----------------------

1/C'est quoi une fonction nalytique ?

2/ Calculer l'intégrale de 1/((2*z^2+1)^2) sur le chemin fermé |z-2i|=10.
Il veut juste savoir comment on fait pour la calculer, il veut donc qu'on parle des résidus pour enchainer avec..

3/C'est quoi un résidu, c'est le coefficient de 1/(z-z0) dans le développement en série de Taylor, vous avez dit Taylor??

4/Donner la partie principale du dévp. en série de Taylor de la fonction donnée autour d'un point (pour l'exemple donné c'était 1/(racine(2))*i), bref qques questions sur Taylor.

2ème question:
--------------

On donne la transmittance isomorphe suivante:

H(p)=exp(-tau*p)/((p+a)*(p+b)) avec tau appartient à R+ et a,b
appartiennent à R

1/Donner la réponse impulsionnelle causale du système.
J'ai calculer h(t) en utilisant la méthode des séparations en fractions simples(assez cool comme méthode :D) Puis j'ai dis que Re(p)>-a (si a&ltb)ou Re(p)>-b (si a>b).

3/Quelles sont les conditions pour appliquer le th. de la valeur finale.
C'est dans le cours.

4/En supposant que ces conditions sont satisfaites, calculer Lim h(t) pour t->infini + conditions sur tau, a et b.

Lim h(t) pour t->infini = Lim sigma*H(sigma) pour sigma->0+
Pour les conditons je savais pas trop quoi dire, j'ai donc d'abord calculer la Lim, j'ai trouvé 1/(a*b) et puis j'ai dit qu'il faut que a et b soient différents de 0.

5/
-Si on a une réponse indicielle, que devient la limite.
Il faut juste diviser par sigma

-Pq on a ce résultat?
h(t)*nu(tau) (produit de convolution) = intégrale de -infini à t de h(t)dtau = H(p)/p et c'est une des propriétés de la transformée de Laplace

il était content avec ça et il m'a mis 16/20

Comme ça a déjà été dit par bcp, le prof est assez cool et il vous met à l'aise

Bonne chance pour les ba2 de 08/09 :D

Post nº41 (id3827) envoyé par Sora le 27 Jun 2008, 17:46

C'est une idée ou il y a presque la moitié de ce que j'avais écrit qui a disparu?

Bon, désolée, je réessaye (si ça marche pas je laisse tomber):

Fiche n°13
Soit C chemin admissible fermé simple parcouru dans le sens positif, p0
pôle d'ordre beta.
Démontrer que int(f'(z)/f(z))dz = -2*pi*i* beta
Bref presque la démo du principe de l'argument.
Attention, je me suis fait avoir lorqu'il m'a demandé quel est le domaine
de convergence de cette série de Laurent:
d'habitude on a R1y(t)=u(t)*h(t)
Pourquoi ça s'appelle "réponse impulsionnelle"?
(Seigneur, qu'est ce que j'ai à me taper une question pareille!!!!!!!!)
En gros, c'est parce que si on met comme entrée l'impulsion de Dirac on verra à la sortie...l'impulsion de Dirac , c'est donc la réponse à l'impulsion...
(bon d'accord j'était un peu dans la lune quand il m'expliquait...)
b)conditions pour avoir syst stable:
j'ai dit qu'il faut que intégrale de -infini jusqu'à + infini de
|h(t)|soit borné donc RDC contient l'axe imaginaire, comme par hasard,
il me demande pourquoi @o@? En fait ça à avoir avec la première cond de Dirichlet, intégrale de -infini jusqu'à + infini de |x(t)|exp(-sigma* t)
doit être borné, RDC = ens. des val. pour llesquelles l'intégrale conv. donc si RDC contient l'axe imaginaire, sigma=0, et donc ça revient à la cond. ci-dessus.
(qlq'un me suit encore? pas grave, je crois que le prof n'a pas trop l'air
de me suivre non plus, en tout cas il m'a pas posé de question en plus là
dessus )
c)on donne H1(p) et H2(p) en série et on demande de calculer la réponse pour une entrée cos => formule magique!!! Mais attention, ne faites pas la
même erreur classique: omega est DONNE donc ne laissez pas d'omega dans vos réponses, c'est qlq chose qu'il insiste mais dont personne n'a fait
attention apparemment -_-||| (personnellement j'ai fait cette erreur DEUX fois ;p )
d)Calculer la réponse impulsionnelle de H1,H2, formule basée sur le théorème des résidus, soyez prudent dans vos calculs!!! (pas envie d'expliquer l'erreur que j'ai fait, c'était une bête distraction...)

Conclusion: il m'a dit que j'étudie trop par coeur -_-||| (sorry mais retaper ces démo de dingue par pure intuition c'est en dehors de mes capacités...)

Voilà, ça fait un long post, j'espère que ça va servir.

Bon courage!!

Post nº40 (id3826) envoyé par Sora le 27 Jun 2008, 17:41

Fiche n°13
Soit C chemin admissible fermé simple parcouru dans le sens positif, p0 pôle d'ordre beta.
Démontrer que int(f'(z)/f(z))dz = -2*pi*i* beta
Bref presque la démo du principe de l'argument.
Attention, je me suis fait avoir lorqu'il m'a demandé quel est le domaine de convergence de cette série de Laurent: d'habitude on a R1
y(t)=u(t)*h(t)
Pourquoi ça s'appelle "réponse impulsionnelle"? (Seigneur, qu'est ce que j'ai à me taper une question pareille!!!!!!!!)
En gros, c'est parce que si on met comme entrée l'impulsion de Dirac on verra à la sortie...l'impulsion de Dirac , c'est donc la réponse à l'impulsion...(bon d'accord j'était un peu dans la lune quand il m'expliquait...)
b)conditions pour avoir syst stable: j'ai dit qu'il faut que intégrale de -infini jusqu'à + infini de |h(t)|soit borné donc RDC contient l'axe imaginaire, comme par hasard, il me demande pourquoi @o@? En fait ça à avoir avec la première cond de Dirichlet, intégrale de -infini jusqu'à + infini de |x(t)|exp(-sigma* t) doit être borné, RDC = ens. des val. pour llesquelles l'intégrale conv. donc si RDC contient l'axe imaginaire, sigma=0, et donc ça revient à la cond. ci-dessus. (qlq'un me suit encore? pas grave, je crois que le prof n'a pas trop l'air de me suivre non plus, en tout cas il m'a pas posé de question en plus là dessus )
c)on donne H1(p) et H2(p) en série et on demande de calculer la réponse pour une entrée cos => formule magique!!! Mais attention, ne faites pas la même erreur classique: omega est DONNE donc ne laissez pas d'omega dans vos réponses, c'est qlq chose qu'il insiste mais dont personne n'a fait attention apparemment -_-||| (personnellement j'ai fait cette erreur DEUX fois ;p )
d)Calculer la réponse impulsionnelle de H1,H2, formule basée sur le théorème des résidus, soyez prudent dans vos calculs!!! (pas envie d'expliquer l'erreur que j'ai fait, c'était une bête distraction...)

Conclusion: il m'a dit que j'étudie trop par coeur -_-||| (sorry mais retaper ces démo de dingue par pure intuition c'est en dehors de mes capacités...)

Voilà, ça fait un long post, j'espère que ça va servir.
Bon courage!!

Post nº39 (id3825) envoyé par rocky le 27 Jun 2008, 16:22

1e question:
Donner la transformée de Fourier de x1(t)*x2(t) (produit de convolution) et démontrer l'obtention du résultat, sachant que x1, x2 et x vérifient les conditions de Dirichlet. (facile, démo du cours)
Sous-questions:
Quelle est la 1e condition de Dirichlet -- int |x(t)| de -inf à + inf converge.
La fonction cos(t) respecte-t-elle cette condition? -- Non car si on fait le dessin, on voit qu'en integrant sur tout l'espace la surface tend vers l'infini, comme on prend la valeur absolue de cos.
Et pourtant, cos(t) admet une transformée de Fourier, pourquoi et quelle est-elle? -- on décompose en exponentielles complexes et on sait que e^(iw0t) admet 2 pi Dirac(w-w0) comme transformée, on obtient donc qqch comme pi Dirac(w-1)+ pi Dirac(w+1).
Puis il m'a demandé la réponse d'un système caractérisé par H(p)=e^(-p)/(p+a) à l'entrée sin(t) appliquée depuis l'infini -- A|H(iw)|sin(w0t+arg(H(iw))). Faut dire qu'il faut que le système soit stable et causal pour qu'on puisse utiliser la transfo Fou au lieu de celle de Laplace donnée, donc Re(p) plus grand que -a (pour que RDC inclue axe Im).
Puis j'ai du calculer la réponse impulsionnelle-- H(p) en temporel donc. On transforme d'abord 1/(p+a) en e^(-at) nu(t), puis on applique le glissement dans le temps, donc e^(-a(t-1)) nu(t-1) .

Je crois que c'était tout pour cette question, voyant que je connaissais bien je suppose qu'il a pas jugé nécessaire de me poser des questions chiantes sur RDC etc...

2e question:
calculer integrale sur C de dz/z lorsque C: |z|=1 et puis lorsque C: |z-1|=1/2 . Puis la meme chose avec dz/z^3.
--Dans le premier cas ca donne 2 pi i par Cauchy 1, puis 0 car le pole z=0 n'est pas compris dans C, donc appliquer cauchy goursat.
Pour la 2e fonction, ca donne 0 dans les 2 cas, d'abord par le theoreme des residus (par ex), puis cauchy-goursat.
sous-questions:
definition fonction analytique, expliquer histoire de poles.
dans le 2e cas, n'aurait on pas pu voir que le résidu = 0 directement?
-- oui car 1/z^3 est son propore developpement en serie, et on voit que le terme devant 1/z est nul, donc residu nul.
expliquer ce qu'est un developpement en puissances de Laurent, un résidu
-- on donne la def et on explique l'histoire du b1 et il est content

Voila je me souviens plus si il y avait d'autres sous questions.
J'ai l'impression que plus tu connais bien, moins il pose de sous-questions chiantes. Vu que j'ai eu la chance d'avoir des questions faciles, ca a donc bien été, mais bon j'sais pas si c'et pour tout le monde.

Sinon comme deja dit, le temps d'attente est ENORME. Apres avoir ecrit au tableau la 1e question, j'ai attendu presque une heure, puis après la 2e environ une demie. Donc j'suis resté près de 3 heures...
Le prof je l'ai trouvé cool et pas avare des points.

Bonne chance aux années futures vu que quasiment tout le monde a fini... et vive les vacances!!

Post nº38 (id3818) envoyé par Tam le 26 Jun 2008, 23:13

- Donner les conditions sur z0, C et f(z) pour la formule de Cauchy et redémontrer l'égalité :
f(z0) = 1/(2.Pi.i) int[f(z)/(z-z0)] dz

Bien que je ne connaissais pas la démo du lemme 1/(2.Pi.i) int[1/(z-z0)] dz = 1, il m'a posé plein de questions pour que j'y arrive...

Sous question, poles 1/[(4z²+1)²(Z-5)] ou qqch du genre et calcul d'un des résidu. Ne pas oublier de mettre le 4 en évidence. J'étais un peu distrait et n'avait pas remarqué non plus que 4z²+1 était au carré donc le résidu est d/dz phi(z0).

- Dire si 4 signaux qu'il donne sont linéaires, permanents, stables. Pour le dernier signal, il ne donnait que la transmittance isomorphe H(p) = 1/[(p+11)(p+1)] avec Re(p) > -1, on trouve que h(t) = 1/10 [e(-t) - e(-11t)] nu(t) ou qqch du genre...

Questions sur la stabilité (RDC contient l'axe imaginaire ou int|h(t)| borné). Bien maitriser les RDC et les conditions en tout genre...

Post nº37 (id3816) envoyé par Vinz le 26 Jun 2008, 18:58

Hello,
Alors les deux questions que j'ai eues sont ....
1) Enoncer Cauchy Riemann et démontrer pourquoi c'est une CS (ou une CN? CNS? sais plus ... :p) qu'une fonction f(z) (qui vérifie donc Cauchy Riemann) admet une dérivée. en gros faut retaper le théorème, et la démo qui va avec...
Il a ensuite dévié sur un calcul de résidus facile (sauf si on oublie que les termes sont au carré^^) et après comme on peut s'en douter il bifurque avec série de Laurent (aspect général) RDC, ...

2)Il fallait déterminer la transformée de laplace unilatérale de la dérivée troisième de x par rapport à t... et après en déduire la valeur de L(X(t)) d'un système du genre dx/dt au cube + 6 dx/dt carré + 11dx/dt + 6x=0.
Pour la première partie j'ai utilisé la définition de Laplace unilatérale (lintégrale de o- à l'infini) et je l'ai intégré trois fois par parties.
Pour la deuxième partie, on obtenait un numérateur de l'ordre 2 et un dénominateur d'ordre 3. Fallait factoriser tout ca... (vive horner)On avait alors les pôles et là il a évidemment demandé la zone de convergence et puis de stabilité....
Il a ensuite fait un peu le chien avec des réponses à une entrée sinusoidale depuis l'infini et là j'ai un peu cafouillé avec les arguments d'une exponentielle complexe...

Bref, Kinnaert aide un peu quand vous savez pas ( en tout cas il nous fait comprendre que ce qu'on dit est faux) mais par contre, je trouve que lorsque je maitrisais un peu il voulait me déstabiliser en me faisant douter.

Bonne merde à ceux qui n'ont pas encore fini et pour les générations futures!

Post nº36 (id3801) envoyé par Seb le 25 Jun 2008, 12:17

désolé je poste mes questions tard et j'espère que je ne fais pas d'erreur..

1) démontrer que l'intégrale de f'/f sur un contour contenant un zéro de multiplicité alpha de f vaut 2 pi alpha. Pas compliqué c'est dans la démo du principe de l'argument. après viennent les ptis détails chiants du genre pourquoi est-ce qu'on peut dire que si g est analytique(utilisé dans la démo..) , alors ses dérivées sont analytique, mais ce sont des questions surtout pour voir si vous comprenez de quoi vous parlez.

2) déterminer une transformé de fourrier d'une expression..ca devai ressembler à un truc du genre sin(t).sin(2t)/2pi.t² et il donne en indication le résultat pour sin(t)/2pi t
alors ne faites pas comme moi et n'essayez pas de transformer le produit des sinus en une somme de fonction trigo (oui j'étais complètement cinglé..) mais utilisé plutot la propriété pour le produit de deux fonction qui donne une convolution dans la transformé de F

après j'ai du donner le résultat d'une convolution (graphiquement ou par calcul) n'oubliez pas que l'intégrale de l'impulsion de dirac sur l'espace entier vaut 1..

enfin un tit truc à la c.. donner la sortie du système pour une entrée à fonction sinusoidale (appliqué depuis un tps infini!!!!!)

conseil: si vous avez du temps devant vous, (vous en aurez croyez moi..) essayé d'imaginer les question qu'ils pourrait poser et éventuellement en mettre les résultats au tableau.. c'est plus facile que de débiter ca en direct!! arg.. sinon il est sympa :)

bonne M**

Post nº35 (id3794) envoyé par Laurent le 24 Jun 2008, 19:43

Première question :
Cauchy 1 : Savoir démontrer et donner les hypothèses sur f(z), C et z0
Sous question: Un peu de tout en passant par les séries de Laurent (convergence, énoncé, ... ) via la résolution de (intégrale de) 1/z --> Pourquoi ca ne marche pas avec la primitive?, ...

Deuxième question:
Quelle est la transformée de Fourier de "sin(t)*sin(t/2)/(pi*t²)" en sachant que la transformée de Fourrier de "sin(Wt)/(pi*t)" vaut soit 1 si |w|W

Pour cette question, je l'ai résolue grâce à la formule :"s(t).q(t)=(1/2pi) S(iw)*Q(iw)" avec s(t)=sin(t)/(pi*t) et q(t)=sin(t/2)/(pi*t)
Pas d'inquiétude si vous tomber sur une discussion en fonction de w, c'est normal...(j'avais 3 intervalles différents et il ne m'a pas dit que c'était faux :) je vous le dit pour vous éviter des mauvaises surprises ;) )
Sous-questions : il donne H(p), quelle est la réponse indicielle, ses valeurs asymptotique, ... (vraiment beaucoup de questions, il passe beaucoup de chose en revue mais je me souviens plus trop quoi...)

Voila tout...bonne chance pour ceux qui ne sont pas encore passés

Post nº34 (id3792) envoyé par Lydie le 24 Jun 2008, 19:06

Les deux questions que j'ai tirÃ©es sont les suivantes :

1) DÃ©montrer l'expression du dÃ©veloppement en sÃ©rie de Taylor (il ne dit pas que c'est Taylor, il donne juste l'expression sommatoire ainsi que celle des An).

Comme on employait le thÃ©orÃ¨me ML dans la dÃ©mo et que j'avais du temps Ã perdre, j'ai fini par mettre l'Ã©noncÃ© du thÃ©orÃ¨me (et il a paru intÃ©ressÃ© par le fait que je l'ai fait donc ... p-e Ã©tait-ce une question qu'il m'aurait posÃ©e si je ne l'avais pas fait??).

Il m'a demandÃ© de lui expliquer tout ce que j'avais inscrit au tableau.
Ensuite, il m'a posÃ© quelques petites questions, notamment la dÃ©finition de l'analycitÃ©. Il m'a demandÃ© Ã©galement d'Ã©valuer l'intÃ©grale de f(z)=1/(4zÂ²+1) sur le contour |z-2i|=10. J'ai utilisÃ© les rÃ©sidus.

2) On a un systÃ¨me avec une entrÃ©e U(p) et une sortie Y(p). On a deux systÃ¨mes en sÃ©rie H1(p) et H2(p). 4 sous questions :

a) DÃ©terminer la rÃ©ponse impulsionnelle du systÃ¨me entier.

Comme je n'avais pas compris exactement comment il voulait que je l'exprime, j'ai d'abord Ã©crit que H(p)=H1(p).H2(p) en montrant comment on peut l'obtenir (cours). Et puis h(t)=dÃ©finition avec H(p).
En fait, il voulait que j'Ã©crive cette rÃ©ponse en terme de h1(t) et h2(t). Donc utiliser le fait que produit de transformÃ©e = convolution de h1(t) et h2(t).

b) StabilitÃ© : quelles conditions sur H1(p) et H2(p) ?

LÃ , j'ai commencÃ© avec la premiÃ¨re condition de Dirichlet. Puis sur le fait qu'il faut que l'axe imaginaire appartienne Ã la RDC. Il m'a demandÃ© de justifier cela : avec la 1ere condition de Dirichlet, on est assurÃ© que la transformÃ©e de Fourier existe. Et pour passer de la transformÃ©e de Fourier Ã celle de Laplace, on pose sigma = 0 dans p=sigma+iw.

c) H1(p)= exp(-3p)/(p+1) et H2(p)=1/(p+4). Evaluer la rÃ©ponse Ã l'entrÃ©e u(t)=cos(2t), si l'on sait que cette entrÃ©e est appliquÃ©e depuis t->-infini.

On peut donc utiliser la relation y(t)=|H(iw)|cos(2t+ arg(H(iw))), avec w=2 ici. On avait dÃ©jÃ trouvÃ© au a) que H(p)=produit des H1 et H2. Donc c'est juste calculer le module et l'argument.

d) Utiliser l'expression trouvÃ©e au a) pour exprimer la rÃ©ponse impulsionnelle du systÃ¨me donnÃ© en c).

Comme je n'Ã©tais pas arrivÃ©e lors de la prÃ©paration Ã trouver ce qu'il voulait prÃ©cisÃ©ment au a), j'ai utilisÃ© les propriÃ©tÃ©s des transformÃ©es (dÃ©calage temporel) et la dÃ©finition L(exp(at).x(t)) = 1(p+a). J'ai exprimÃ© H(p) comme une somme de fraction simple (en mettant en Ã©vidence exp(-3p)).
En gros, comme aux tps.

Il ne m'a pas posÃ© d'autres questions aprÃ¨s.

Sinon, en effet, le prof est trÃ¨s sympa, quand il remarque que l'on ne voit pas trop ce qu'il veut qu'on fasse, il nous guide, en posant des questions qui nous mÃ¨nent Ã la rÃ©ponse. Et lorsqu'on se plante un peu, il dit "tu es sÃ»r(e)?".

Sur la maniÃ¨re dont se dÃ©roule l'examen : c'est premier arrivÃ©, premier qui commence... Il en fait rentrer 4 Ã la fois au dÃ©but, et parfois plus tÃ´t (style 8h15), et puis, c'est lorsqu'il y en a un qui a fini qu'un autre entre. L'examen dure facilement 1h30, si pas 2h, mais on a largement le temps de dÃ©stresser... et de rÃ©pondre entiÃ¨rement aux questions.

Bon courage Ã ceux qui doivent encore le passer.

Post nº33 (id3773) envoyé par biscotte le 22 Jun 2008, 21:00

Première question:

Déterminer le domaine où la fonction Log(z) est analytique et déterminer sa dérivée. J'ai d'abord déterminé le domaine où la fonction est continue (partout sauf sur l'axe réel négatif), puis j'ai utilisé Gauchy-Riemann. Après (questions supplémentaires), il m'a demandé de calculer une intégrale centré en Zo de rayon R (avec des valeurs numériques), j'ai utilisé les résidus. Puis avec cette même intégrale, il m'a demandé la forme générale de la série de Laurent en i. Et comment déterminer la valeur de l'intégrale à partir de cette série (résidu = b1). En général, quelle que soit la question tirée, il vous pose des question sur l'ensemble de la matière.

Deuxième question:

J'ai du déterminer la transformée de Fourier d'une expression assez moche et pour cela, je connaissais la transformée de Fourrier d'une expression similaire (aide). Comme x(t)=x1(t).x2(t), avec X1(iw) et X2(iw) qu'on pouvait déterminer grâce à l'aide, j'ai du utiliser les propriétés des transformées et calculer le produit de convolution pour trouver X(iw). J'ai du superposer X1(iw) et X2(iw) pour trouver les différents domaines où la fonction était définie.
Après (questions supplémentaires), il m'a posé plusieurs questions sur les SLP. Notamment:
-si le système est stable, H(iw)=H(p) car Re(p)>-a (a étant positif) or p=o+iw donc on peut prendre o=0.
-si le système est stable, il est correct de dire que F(y(t))=Y(iw) où y(t)=h(t)*u(t) et Y(iw)=H(iw).U(iw) gràce aux conditions de convergence. En effet si le sytème est stable, cela implique que si u(t) est borné, alors y(t) est borné. Donc int(h(t)dt) de -inf à +inf est une condition nécessaire et suffisante pour que F(y(t))=Y(iw).

Faites attention il regarde à chaque détail mais il nous aide aussi quand on est bloqué pour voir jusqu'où on connait la matière.

Post nº32 (id3770) envoyé par MJ le 22 Jun 2008, 17:14

Jsuis passée avant hier.

1) Première partie

Soit C un chemin admissible fermé parcouru dans le sens positif. D est le domaine intérieur à C. Une fonction f(z) analytique sur CUD et qui possède un zéro z0 de multiplicité alpha (z0 est intérieur à C). Il faut montrer que l'intégrale sur le contour fermé C de f'(z)/f(z) = alpha* 2*pi*i

Cette question a déja été développée dans des posts des années précédentes. Il faut partir de la définition d'une fonction analytique possédant un zéro : f(z) = g(z)*(z-z0)^alpha Il faut bien précisé que g(z) est analytique et non nulle en z0 (de par la déf.)
Ensuite faut dérivé f(z) (dérivé d'un produit de fonction) et faire le quotient.
Ensuite on passe à l'intégrale sur C . Alors là, faut cinder l'intérgale en 2 partie. D'un côté on aura g'(z)/g(z). Comme g'(z) est analytique grâce à Cauchy 2, on peut dire que l'intégrale est nulle par Cauchy-Goursat. Comme autre partie, on a [alpha/(z-z0)]. On peut résoudre sa de plusieurs façons. Moi je l'ai fait par le Lemme pr démontrer Cauchy 1.

En expliquant votre démarche, il pose quelques petites questions, du genre : c'est quoi analytique, c'est quoi Cauchy 2, pourquoi tu peux utiliser ici le Lemme, ...

Et après sa, il te pose encore d'autres question pour passer en revue toute la matière du genre : voilà une fonction, calcule moi son intégrale (par la méthode des résidus), calcule moi un résidus, fait moi le développement de Laurent par rapport a ce résidu, RDC de la série de Laurent que tu viens d'écrire, ... En gros, il a TOUT passé en revue.

2) Systèmes

Détermine la linéarité, permanence et stabilité des systèmes suivants :

a/ y(t) = 5t.u(t) (ATTENTION, c'est un simple produit, pas convolution)
b/ y(t) = sin t . u(t)
c/ y(t) = int de moins l'infini à plus l'infini de ( u(tau).exp(3t-tau) dtau)
d/ H(p) = 1/[(p+11)(p+1)]

J'ai bcp galéré pour cette question pcque sa parcours, mine de rien, toute la matière !! Il a vu que j'avais du mal donc on a réfléchi "ensemble". Y a certaines fonctions (désolé, me rapelle vrmt plus très bien) qui sont des expression type de SLP, donc c'est doffice linéaire et permanant. Pour la stabilité, c'est des définitions déférentes pour chaque système :s Je me rapelle que pour la c/ faut utiliser la première condition de Dirichlet (yeaaaaah, trop facile ...).

Enfin bref, je me suis méchamment planté sur la deuxième, mais j'ai bien réussi la première (heureusement). Et il m'a dit que c'était quand même réussi donc voilà, pas perdre espoir, et essayer de lui montrer le maximum de choses que vois connaissez.

PS : soyez pas déstabilisé par la posture de sa tête ^^

Post nº31 (id3768) envoyé par Rafael le 22 Jun 2008, 13:24

Première question:

on a une entrée u(t), une sortie y(t) et une réponse impulsionnelle h(t). donner la relation entre u, y et h :y(t) = u(t)*h(t) // produit de convolution et puis le développer en intégrale.
Puis il nous donne les 3 fonctions de Laplace bilatérales des 3 fonctions et on doit donner la relations en Y(p), U(p) et H(p): Y(p) = H(p) . U(p) //simple produit + démo qui est dans le cours + RDC

questions subsidiaires: convergence, matrice de transmittance, il donne un exemple, il faut lui expliquer la stabilité, la causalité. Puis il donne une entrée sinusoïdale et il faut lui donner la réponse (formule du cours).

Deuxième question:

Il donne une intagréla à calculer avec 2 contours z = |1/2| et z=|3/2|
int sur C de 1/( (z+2)^2 * (z+1)^2 )
Elle vaut 0 dans les deux cas (Cauchy Goursat pour 1 et Résidus pour le 2)
Puis il commence à poser pleins de trucs sur les séries de Laurent, expliquer ce qu'est un résidu, analytique, rayon de convergence (savoir lui faire un ptit dessin).

Je vous conseille de bien connaitre dans les détails les séries de Laurent, la déf d'une fonction analytique, la causalité, stabilité etc... car ces questions resortent dans 90% des exams oraux!

Sur ce , bonne chance à tous !!!

Post nº30 (id3766) envoyé par Adrien le 22 Jun 2008, 10:17

1) Démo de la transformée de Laplace d'une convolution + convergence
Sous-questions : réponse impulsionnelle, valeur asymptotique de la réponse indicielle (->théorèmes taubériens), avec toujours des questions sur les conditions d'applications (Dirichlet, stabilité...)

2) Vérifier le principe de l'argument pour :
a) f(z) = 1/z^3 , Chemin : abs(z) = 1
b) f(z) = 2(z-4), Chemin : abs(z-3) = 1
En fait c'est pas très compliqué, il suffit d'exprimer les chemins sous la forme z(t) = exp(it) (resp. z(t) = exp(it) + 3), puis de faire f(z(t)) et de voir que le nombre d'enroulements autour de l'origine du chemine f(z(t)) est bien donné par T = Z - P où Z et P sont les zéros et pôles à l'intérieur du chemin initial.
Sous-questions : il donne une fonction f(z) = (z-2)/[(10z-20)^2 * (z+3)] , expliquer comment trouver une série de Laurent qui permmette de déterminer le résidus en z = 2 -> développement en série de Taylor de z-2/z+3 autour de 2 (il demande pas de le faire, juste de donner la forme générale de la série de Laurent et de dire qu'on fait un dév. de Taylor...), et bien entendu le domaine de convergence de cette série (faire un petit dessin avec anneau où le petit cercle est autour de z=2 et le grand passe par z=-3, en disant que le petit tend vers 0)

Comme déjà dit par les autres, il est cool, il met bien sur la voie quand il voit qu'on a pas trop compris ce qu'il demandait, il corrige dès qu'on commence à dire des conneries pour qu'on ne s'enfonce pas trop...
Et on a effectivement tooooout le temps de réfléchir à comment on va répondre (ou pas) à toutes les sous questions qu'il pourrait poser sur le sujet, et même sur tous les autres sujets tant qu'on y est.

Post nº29 (id3764) envoyé par Legzi le 21 Jun 2008, 20:49

1ere question
-------------
Démonstration de Taylor. J'ai bien fait toute la démo.
Après il m'a posé des questions sur la région de convergence et d'autres petites questions bien chiante que tu sais pas trop bien répondre si tu connais juste bien la démo par coeur mais pas grand chose autour.

2eme question
-------------
On donne le dessin d'une transformée de fourrier X(iw) (c'est un triangle).
Il faut tracer la transformée de y(t) = (cos2t + cos5t).x(t) (x(t) étant la transformée inverse de X(iw)).

Pour ça j'ai transformé (cos2t + cos5t) en transformée de fourrier et puis comme c'est une fonction périodique on peut utiliser la relation: cos(w0t) => pi*delta(w+w0) + pi*delta(w-w0). Après j'ai dit qu'il y avait une impulsion quand w+w0 = 0 ou w-w0=0 et donc on peut retracer le graphe.
Le graphe que j'ai dessiné était tout à fait correcte.. parcontre il m'a dit que c'était du bol et qu'il fallait calculer ca autrement via les propriétées d'une convolution etc etc.. même si mon argumentation était correcte.. enfin en tout cas il ne m'a pas dit que c'était faut, il voulait juste voir ça autrement.

Donc en résumé j'avais répondu correctement aux deux questions mais il m'a dit que je connaissai trop par coeur et que c'était trop superfiel comme étude (il n'a pas tort). Bref j'ai 9/20 et j'ai trop la haine :D. Je trouve que pour une fois il n'a pas été juste. J'avais répondu aux questions et c'est les petites questions a coté qui m'ont foutu dedans. Je méritait pas 12 peut-etre meme pas 11 mais en tout cas 10! (ce qui aurait été suffisant).

Tout ça pour vous dire qu'il ne suffit pas de connaître ces démos parcoeur. Il faut comprendre ce qu'on fait..

Post nº28 (id3760) envoyé par Houblond le 21 Jun 2008, 18:32

première question :
soit y(t), u(t), h(t), exprimer Y(p) en fonction de U(p) et H(p) (en gros transformée de Laplace d'une convolution).
Il pose pas mal de questions après sur la région de convergence (pourquoi c'est ca? ca représente quoi géométriquement?..) donc faut pas simplement connaître la démo...

deuxième question :
série de Laurent en puissance de z avec f(z)= -1/(z-1)(z-2) pour |z| supérieur a 2 et z compris entre 1 et 2.
La aussi il vous posera des questions sur la convergence...

vous avez tous le temps et Kinnaert est assez sympas

Post nº27 (id3747) envoyé par anonyme le 21 Jun 2008, 11:25

Bon si ça foire encore j'abandonne, et tant pis si je pollue rien à foutre ^^

2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²

Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))

Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

Post nº26 (id3746) envoyé par Le Chameau le 21 Jun 2008, 11:24

Y a un bout de la question 2 qui est partie, je recommence

2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²

Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))

Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

Voila c'est tout concernant le prof, il est sympa et veut te mettre à l'aise... par contre, je sais pas pour les autres, mais il m'a coté comme un crevard.

Bonne CHANCE aux autres

Post nº25 (id3744) envoyé par Le Chameau le 21 Jun 2008, 11:22

Salut

1ere question (8) : Démontrer que f(z) admet une série de Taylor (-> démo du cours)

Questions en plus : Calculer l'intergrale de 1/(z-16)^4 sur |z-2i| Th des résidus)
C'est quoi un résidu? (-> coeff de 1/(z-z0) dans la série de Laurent
C'est quoi une série de Laurent?
Région de convergence? (anneau dont le rayon est le plus grand tel que l'anneau soit analytique)

__________________________

2e question (2) : Calculer la transformée de Fourier de sin(t)sin(t/2)/2*pi*t²

Integrer la fonction en utilisant la définition, c'est trop chaud, alors se rappeler que x(t)=f(t)g(t) X(iw)=1/2pi (F(iw)*G(iw))

Vous avez une indication comme quoi sin(Wt)/pi*t vaut 1 pour |w| de -1 à +infini) Pourquoi? Systeme causal qui fait que la 2e borne de la région tend vers l'infini
Enfin réponse pour l'entrée = sin(t) --> y(t)=|H(i)|sin(t+phi) (formule FONDAMENTALE)

Voila c'est tout concernant le prof, il est sympa et veut te mettre à l'aise... par contre, je sais pas pour les autres, mais il m'a coté comme un crevard.

Bonne CHANCE aux autres

Post nº24 (id3743) envoyé par gilles le 21 Jun 2008, 11:19

Salut,

J'ai passé hier mon exam oral d'analyse complexe et voici les question que j'ai eu. J'ai tire le 2 dans les deux cas.

Première question:

Un grand classique:
Enoncer les equations de Cauchy-Riemann et demontrer qu'elles sont une condition necessaire pour que f' existe (tout cela bien exprime en z0 bien sur).

Deuxieme question:

Un peu plus chaud quand meme...
Calculer la transformee de Fourier de sin(t)sin(t/2)/(pi t^2) sachant que la transformee de Fourier de sin(Wt)/(pi t) est egale à 1 si |w| plus petit que W et egale à 0 si |w| plus grand que W.
Attention: les majuscules representent le omega particulier du signal de depart tandis que les minuscules, c'est la variable dans la transformee.

Pour la premiere question, pas de surprise, j'ai deballe tout ce que je savais sur la demo etudiee et il a ete content(il faut bien lui expliquer certains passage comme le passage du choix des delta z particulier). Il m'a bien sur poser quelques questions sur la notion d'analycité en me demandant si la fonction P(1/2,z) etait analytique, où et pourquoi. En partant de la definition de la fonction puissance (P(c,z)= e^(c Log(z))), il y avait moyen de s'en sortir (avec Cauchy-Riemann) mais il voulait juste une explication qualitative et donc il m'a demande de justifier avec les connaissances sur la fonction Log(z)(où elle est analytique et pourquoi, expliquer pourquoi il y a discontinuite lors du passage de l'axe reel negatif,...).

Pour la deuxieme question, c'etait un peu plus chaud car il fallait utiliser la propriete suivante: F(x(t) u(t))= 1/(2 pi)(F(x(t))*F(u(t))), formule que l'on utilisait jamais je pensais car cela me semblait idiot d'effectuer une convolution alors qu'il suffisait d'appliquer un bete produit des signaux de depart pour s'en sortir. Mais on voit bien qu'il n'est pas si simple de s'en sortir ici(à cause du fait que c'est des sin/t).
Et donc, ce qu'il y avait à faire, c'est appliquer la transformee de Fourier des 2 signaux et effectuer la convolution (un facteur pi doit etre ajoute pour pouvoir appliquer la formule donnee à chaque fois). Ensuite effectuer le produit de convolution de ces resultats... Ce qui demande une discussion assez longue sur les bornes de l'integrale que je vous laisse deviner où faire deviner par vous meme si cela vous enchante de refaire cet exo!!
Donc... Pas tres court comme exo, si bien que aussi peu probable que cela puisse paraitre au vu des dires des autres, je n'ai pas eu le temps de terminer la question avant qu'il n'arrive. Mais il s'en foutait completement, il voulait juste voir la demarche et il etait tres content meme sans resultat final.
Il m'a bien sur pose apres toutes les questions qu'il affectionne càd premiere condition de dirichlet, stabilite, que sort un systeme auquel on applique un sin(t) depuis un temps infiniment long (pourquoi sin(t) admet une transformee de Laplace alors que les "pseudo-conditions" de dirichlet ne sont pas verifiees et je pense que c'est a peu pres tout!

Ca fait un long post quand meme!! J'espere que c'etait plus ou moins clair mais le gros truc a retenir, c'est de bien comprendre la stabilite , les conditions de dirichlet, l'analycite et tous les concepts importants abordes au cours.

Voila, je vous laisse, je dois aller prendre un verre avec plein de glaçons, me mettre dans mon transat et bronzer un peu, je n'ai pas que cela à faire tout de meme: je suis en VACANCES!!!

Post nº23 (id3741) envoyé par Caroline le 21 Jun 2008, 10:46

Question 1:

On a un contour C, sens positif, f analytique et non nulle sur C et D (intérieur de C)sauf en p0 où f a un pole de multiplicité beta dans D. On demande l'intégrale sur C de f'(z)/f(z) dz.
==> partir de la définition de pole pour développer en série et trouver le résidu, ensuite théorème des résidus, on trouve -beta*2*pi*i.
Ensuite il m'a posé des questions sur les formules de Cauchy, f analytique => f' analytique, les propriétés des séries (cercle de convergence,...)

Question 2:

Ces systèmes sont-ils linéaires, permanents, stables ?

1. y(t) = 5 t u(t) -> linéaire, non permanent et non stable
2. y(t) = sin (t) u(t) -> linéaire, non permanent mais stable
3. y(t) = intégrale de -infini à + infini de (u(to) exp 3(t-to) dt)
==> linéaire permanent mais pas stable
4. Système avec une transmittance isomorphe H(p) = 1/(p+11)(p+1) avec Re(p) > -1 ==> linéaire, permanent et stable
Ensuite il m'a donné une autre transformée et m'a posé des questions sur les valeurs asymptotiques et initiales de sa transformée inverse (théorèmes taubériens).

Voilà... La première question j'ai eu beaucoup trop de temps pour répondre (c'est long!) par contre la 2ème, comme je passais dernière il n'avait plus personne à interroger et m'a demandé de la terminer oralement et là il faut vraiment savoir où on va, parce qu'à la moindre hésitation il intervient et ne laisse plus du tt de temps pour réfléchir.

Bon courage à tous.

Post nº22 (id3733) envoyé par anonyme le 20 Jun 2008, 21:17

Théorie:

Théorème de la valeur final... Avec quel condition peut-on en deduire que
lim x(t)= lim sigma X(sigma) sigma-->0+

Pratique:

Vérifier a l'aide du principe de l'argument les fonction et les chemins suivant

a) 1/x³
b) 2(x+1)

Post nº21 (id3723) envoyé par Renaud le 20 Jun 2008, 15:03

Première question :

Donner le domaine d'analycité de Log(z) puis, dérivé-le.

Log(z)=log|z| + i Arg(z)

==> foirage en 0 à cause du log et discontinuité sur l'axe réel négatif à cause de : -pi v = arctg(y/x)
Ensuite pour éviter de dériver l'arctg, on emploit le fait que la fonction est analytique ==> dv/dx = -du/dy

Au final : d(Log(z))/dz = d(log(sqrt(x²+y²)))/dx - i d(log(sqrt(x²+y²)))/dy
=(x-iy) / (x²+y²) = 1/(x+iy) = 1/Z

Question supplémentaire :

soit f(z)= (2z-3) / [(4z-8)² * (z-1)]

Définir ce qu'est un résidu
==> le terme b1 dans la série de Laurent, autrement dit le facteur de 1/(z-z0)
Sur ce : donner la forme général d'un développement de Laurent
==> dans le cours ^^ pas envie de réécrire ça.

Donner le résidu en z=2
==> on dit que f(z) = phi(dérivé n fois)(en z0) / (n-1)!
ici phi= (2z-3) / [16*(z-1)] et n=2 car (z-2) est exposant 2
J'vous laisse le calcul...

Dernière sous question : donner la zone de convergence et donc le rayon de convergence.
==> dessinez le plan complexe, un point en (1,0) et un autre en (2,0), ce sont vos deux pôles, vous tracez un cercle centré en (2,0) de rayon tendant vers 1 (c'est-à-dire, un cercle ne passant pas par l'autre pôle mais presque) et un autre cercle toujours centré en (2,0) mais qui lui tends vers un rayon nul. La zone de convergence est située entre ces deux cercles.
Il demande sont "équation" : 0 sortie bornée
ou en parlant des la zone de convergence (ZDC) qui doit contenir l'axe imaginaire.

c) Qu'elle est la réponse du SLP si l'entrée est : u(t)=3cos(2t) (DEPUIS t= -INFINI !!!) et H1(p) = exp(-3t) / (p-1) et H2(p)= 1/ (p-4)

Alors là il faut préciser que l'histoire du (w/w²+p² ou p/... je sais plus trop bien) ça marche pas, car la fonction démarre de -inf
==> ne pas partir dans le méga trip du : un cos c'est la somme de deux exponentielles imaginaires....
la réponse (et le prof m'a rappelé a la fin de l'examen à quel point cette formule est importante et fondamentale) est qu'il faut employer ceci :
y(t) = A(amplitude : 3 ici) . |X(iw)|(ici X c'est H je crois, et le w c'est 2) . cos(2t + phi(2)) (phi est l'argument de H en fait, ce que je ne savais plus...)

d) Puis une dernière sous question dont je ne me rappelle plus car il est arrivé avant que je l'entame et je ne sais même pas si j'ai du y répondre au final.

Voilà voilà j'ai fais le plus complet possible ;)

Bonne merde à tous, et tout ce qu'on dit est vrai, il est sympa et on attend trèèès longtemps avant de partir.

Post nº20 (id3707) envoyé par Maïa le 19 Jun 2008, 23:45

Question 1:
-----------

Soit C un chemin élémentaire et f(z), une fonction continue.
Définir intégrale de f(z) sur C.

Appliquer à la fonction f(z)= (x + y^2) + i.x.y^3 le long du chemin allant de 0 à (i-1).

Question 2:
-----------

Soient x1(t) et x2(t) deux fonctions de Transformées de Fourier X1(iw) et X2(iw) et vérifiant Dirichlet.
Soit x(t)=x1(t).x2(t) tq x(t) vérifie Dirichlet.

Donner l'expression de la Transformée de Fourier de x(t). Démontrer.

Post nº19 (id3701) envoyé par da cursed le 19 Jun 2008, 21:04

1e question: (jeton 1)
------------

demontrer que f(z) admet comme limite w0 si et seulement si u admet u0 et v admet v0 => demo des limites.

puis quelques questions subsidiaires sur analycité, continu + application de cauchy.

2e question: (jeton 8)
------------

Un systeme avec H1 et H2 en parallele, trouver que ca doit etre la somme, puis reponse indicielle, puis pente a l'origine (taubérien) + signal a l'entrée sinusoidal. => expliquer avec sortie y=|H|sin(wt+phi)

Bonne m* pour ceux qui doivent encore le passer et accessoirement aux générations futures ...

Le prof est super cool, il donne des points meme si on se plante si on arrive a se corriger apres ses remarques.

Post nº18 (id3696) envoyé par Arnaud le 19 Jun 2008, 18:44

Voici les 2 questions principales posées :

1. Donner le signal de sortie pour un système de transmittance isochrone donnée (H(iw)) et pour le signal d'entrée A cos(w0t + theta0).

-Sous-question : il donne une transmittance isomorphe (fct de transfert) et demande si le système qu'elle décrit est stable ou non ; cette fct peut-elle être utilisée dans le raisonnement de la question principale ?
(la réponse était *non* car le système était instable donc ne comprenait pas l'axe imaginaire donc la transmittance isochrone H(iw) de ce système n'existait pas).

2. Calculer le résidu de f(z) = -1 / (z-1)(z-2) en z=2 en utilisant un dvlpt en série de Laurent de f(z) adéquat (càd autour de z=2, évidemment).

-Sous-question : peut-on calculer l'intégrale sur un contour fermé donné de [dz / z] en utilisant une primitive (sous-entendu Log z) ?
La réponse était *non* car il y avait une discontinuité de Log z au point d'intersection du contour fermé et de l'axe réel négatif. CCL : calculer l'intégrale avec la 1ère formule de Cauchy (ou les résidus, si vous êtes fans, mais c'est un peu la grosse artillerie pour pas grand chose... de mon point de vue en tout cas)

3. Ah ben il n'y en a pas ;-)
J'utilise ce point pour dire 2 mots sur le prof, alors : sympa, rigoureux mais pas pointilleux. Connaissez vos raisonnements et tout ira bien. Moins il parle et plus vous parlez, mieux ça vaut. Quand il interrompt, c'est souvent qu'il y a un problème dans ce que vous dites.

Bonne chance aux BA2 de la cuvée 2011 (enfin... si tout se passe bien ;-) et aux "générations futures" !

Post nº17 (id3682) envoyé par Thomas le 19 Jun 2008, 11:33

Mais oki ca bug à fond :o
Je réessaye.

1) f(z) analytique sur le disque ouvert |z-z0|<R
Démontrer que f(z)=An(z-z0)^n
où An=fn(z)/n!

2) X(p) = e^-3p / (p+1)(p+2)
x(t) est-elle univoquement définie par X(p)?
Déterminer l'(les) expression(s) de x(t)

Post nº16 (id3681) envoyé par Thomas le 19 Jun 2008, 11:31

1) f(z) analytique sur |z-z0|

Post nº15 (id3673) envoyé par Alex le 18 Jun 2008, 20:44

Désolé, petite erreur de manip. Je réenvoie.

question 8 :
Démontrer pour une fonction analytique sur un disque ouvert |z-z0|<R que f(z)=somme(a(n)*(z-z0)^n) avec a(n)=dérivée nième de f divisée par n! (En gros démontrer le développement en série de Taylor)
Question subsidiaire : effectuer le développement en série de Taylor de (z+2)/[(z-3)(z+4)] et indiquer le domaine de convergence

question 1 (aussi 25):
On nous donne le graphe de X(iw) la transformée de Fourier de x(t), et on demande d'esquisser le graphe de la transformée du produit [cos(t/2)+2cos(5t)]*x(t) (C'est un produit simple, pas une convolution)
question subsidiaire :
On donne un système causal de réponse H(p)=(p+2)/[(p+3)(p+4)] et une entrée u(t)=sin(t). Déterminer la sortie y(t).

Post nº14 (id3672) envoyé par Alex le 18 Jun 2008, 20:42

question 8 :
Démontrer pour une fonction analytique sur un disque ouvert |z-z0|

Post nº13 (id3663) envoyé par etienne le 18 Jun 2008, 17:10

j'ai mal écrit la fonction de ma deuxième question --->-1/(z-1)(z-2)

désolé ;-)

Post nº12 (id3662) envoyé par etienne le 18 Jun 2008, 17:09

j'ai pioché la question 1 et la 20
pour la 1 j'ai eu : réponse à un signal u(t) en ayant la réponse impulsionnelle h(t) puis démonter Y(p)=H(p)*U(p) ( multiplication et non convolution ;-))...puis il a dévié vers RDC &Co ...question facile donc il va balayer tout le cours .
pour la deuxième question j'ai eu écrire la serie de laurent de -1/(-1)(z-2) dans les régions abs(z)>2 et 1

Post nº11 (id3661) envoyé par Momo le 18 Jun 2008, 16:59

et la deuxieme question se portais sur le developpement de laurent de
-1/(z-1)(z-2) autour de 2

Post nº10 (id3660) envoyé par Momo le 18 Jun 2008, 16:55

Feuille 16 numérotation bleu

vous avez L(s(t)=> S(p) qui converge entre sigma S+ et sigma S-
et L(q(t)=> Q(p)qui converge entre sigma Q+ et sigma Q-

que déduisiez vous de la région de convergence de de la convolution s(t)*q(t)

ici il faut lui montrer que la convergence n'est possible qu'a l'intersection des région ,vous lui faite un dessin et il sera content ,
il vous demandera pourquoi ces valeur là , parce que pour respecter Dirichlet 1 il faut que votre intégral converge ou valeur fini (

Post nº9 (id3659) envoyé par Odile le 18 Jun 2008, 16:48

vrmt déso de polluer mais j'ai compris que c'était les "

Post nº8 (id3658) envoyé par Odile le 18 Jun 2008, 16:45

voilà dernier post, puisque lentièreté de la question ne passe tj pas...
voici la fin du post:

ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

Post nº7 (id3656) envoyé par Odile le 18 Jun 2008, 16:40

bon apparemment n'entièreté de mon post n'est pas passé...alors le voici..
voilà j'ai passé l'oral ce matin..
Question 1:
-----------
démontrer que pour un système de H(iw) connu et d'entrée u(t)=Acos(w0t) on a la forme y(t)=|H(iw)|Acos(w0t+phi(w0)). En fait il ne donne pas l'expression y(t) que j'ai citée donc il faut savoir que c'est le résultat auquel on doit aboutir. On résoud cette question de la même manière que la démonstration qu'il ya dans le cours pour u(t)=Asin(w0t),(car cos et sin sont des frères jumeaux, dixit le prof;-))(avec y(t)=Asin(w0t+phi(w0)))sauf que il faut considerer dans la démo l'esponentielle (1/2)*(e(iw0t)+e(-iwot))(définition du cos(w0t)) et non pas (1/2i)*(e(iw0t)-(e(-iw0t))(définition du sin(w0t)..pour la suite de la démo on applique les mêmes propriétés que celles faites dans le cas du sinus..càd considérer aussi H(-iw0) comme étant le conjugué de H(iw0) et préciser que ces propriétés de symétries faites car la fonction est réelle..
Question 2:
-----------
définir l'intégrale de f(z) sur C où C est un segment de droite, qui va de z=0 à z=i-1, donc il faut paramériser le chemin C suivant un paramètre t,enfin c'est un peu piège car il n'y a pas eu ça dans les exercices de tp's..
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

Post nº6 (id3655) envoyé par odile le 18 Jun 2008, 16:29

voilà j'ai passé l'oral ce matin..
Question 1:
-----------
démontrer que pour un système de H(iw) connu et d'entrée u(t)=Acos(w0t) on a la forme y(t)=|H(iw)|Acos(w0t+phi(w0)). En fait il ne donne pas l'expression y(t) que j'ai citée donc il faut savoir que c'est le résultat auquel on doit aboutir. On résoud cette question de la même manière que la démonstration qu'il ya dans le cours pour u(t)=Asin(w0t),(car cos et sin sont des frères jumeaux, dixit le prof;-))(avec y(t)=Asin(w0t+phi(w0)))sauf que il faut considerer dans la démo l'esponentielle (1/2)*(e(iw0t)+e(-iwot))(définition du cos(w0t)) et non pas (1/2i)*(e(iw0t)-(e(-iw0t))(définition du sin(w0t)..pour la suite de la démo on applique les mêmes propriétés que celles faites dans le cas du sinus..càd considérer aussi H(-iw0) comme étant le conjugué de H(iw0) et préciser que ces propriétés de symétries faites car la fonction est réelle..
Question 2:
-----------
définir l'intégrale de f(z) sur C où C est un segment de droite, qui va de z=0 à z=i-1, donc il faut paramériser le chemin C suivant un paramètre t,enfin c'est un peu piège car il n'y a pas eu ça dans les exercices de tp's..
ensuite après m'avoir expliqué la paramétrisation(en me donnant donc la solution) il m'a demandé l' intégrale de circulation de dz/(z²+4)sur C tel que |z-2i|

Post nº5 (id3653) envoyé par Olivier le 18 Jun 2008, 15:55

Mes questions d'oral pour ce matin:

1) question 20 (numérotation rouge)
On demande d'exprimer y(t) en fct de h(t) et u(t) (convolution)
puis Y(p) en fct de U(p) et H(p). La démo est assez courte et est dans le cours.

Si la question initiale est relativement simple (et le temps pour y répondre ENORME!) les questions annexes qu'il pose ensuite le sont nettement moins. Son grand dada: régions de convergence!!! Soyez incollables là dessus car, quel que soit votre question, vous en aurez!

Il a ensuite demandé à peu près tout sur la stabilité avant de demander d'exprimer y(t) grâce à H(p) et U(i.Omega)+ les conditions pour pouvoir résoudre le schmilblik.

2) question 1 (toujours numérotation rouge)
Résoudre la série de Laurent f(z) = 1/((z-1)(z-2)).
En question annexe, il a vite dérivé sur les primitives, en demandant de résoudre int(dz/z) sur le cercle défini par |z-2i|=10.
Def de Log, de Arg etc... pour finalement arriver à la conclusion qu'on ne sait pas résoudre cette intégrale via les primitives, et il demande alors la valeur de l'intégrale et comme on y arrive (méhode des residus et tout ce qu'on sait sur les résidus etc)

En conclusion:
les question annexes sont souvent assez longues, bien plus longues que la question initiale. Les 2 parties du cours à DEVOIR maîtriser sont
-les RDC + stabilité
-les primitives
Ces 2 points ressortent 9 fois sur 10 lors des questions annexes.

Bonne m* à tous!

Post nº4 (id3636) envoyé par marc le 17 Jun 2008, 16:36

Je viens d'avoir eu l'oral.

Comme pour tout le monde, j'ai pioché mon petit jeton et c'est parti pour la démo.

Première question: Théorème des résidus, qu'est-ce qu'un résidu, application à la transformée de laplace inverse.

Le théorème en lui même est tout con (la démo prend deux lignes). Il faut savoir expliqué comment intervient le théorème de Cauchy-Goursat pour ça il suffit d'expliquer le petit dessin et de dire que ce théorème nous permet de considérer que les intégrales sur un chemin n'entourant pas un résidu est nulle.
Pour l'application dans la transformée de Laplace, il ne m'a rien demandé (je ne sais même pas s'il l'a regardée).

Il m'a ensuite demander si on pouvait calculer l'intégrale de dz/z pour |z-1|=3 grâce à Log z. La réponse est non puisque Log z est discontinue sur l'axe réel négatif (à démontrer).

Question 2:
J'ai eu un système avec deux transmittances isomorphes en parrallèle.
Il m'a demandé l'impulsion du système (on additionne les transformées inverses de laplace des deux transmittances grâce à la linéarité).
J'ai ensuite du calculer la pente à l'origine de la réponse indicielle du système (grâce au théorème de la valeur initiale).
Pour finir, j'ai du calculer la réponse du système avec une entrée sinusoidale.

A part ça, il est sympas.
Mais prenez tout votre temps pour répondre, sinon vous allé trouvé le temps lond... très long.
Bonne merde

Post nº3 (id3626) envoyé par J-P le 17 Jun 2008, 11:51

Mon tirage : 14 puis 6

question 1 :
x(t) = x1(t)*x2(t), que vaut la transformée de Fourier ?
Réponse: petite démo en 3 minutes puis au moins 30 minutes (après j'ai plus compter) à attendre le prof.
Sous-question : à quoi ça sert, conditions (dirichlet 1, les autres il s'en fou), stabilité d'un système, ...

Question 2 :
série de Laurent de f(z) = 1 / ( z² (z-3)²) avec deux indications : 1) faire un chgt de variable q = z-3 peut être utile et 2) 1/(1-z)² est la dérivée de 1/(1-z)
Les indications ne servent à rien (en tout cas j'ai pas utiliser et ca ne le dérangeait pas). Encore une demi-heure d'attente.
Sous-question : résidus, multiplicité (c'était ds la question mais il n'en a pas parler), région de convergence (la il insiste) + qu'est-ce que ça implique pour f(z), ... il est arrivé aux équations de Cauchy-Riemann je sais pas comment, puis il a dit c'est bon.

Autres remarques :
vu l'état de ses petites fiches, il n'a pas changer de questions depuis qques années donc je vous conseille de refaire ttes les questions postées depuis ... le début. Il y en a une vingtaine pour chaque partie.

vs avez le temps de répondre donc écrivez ttes les lignes des démos.

choisissez le grand tableau dans la salle principale pour pouvoir lire les affiches en attendant le prof.

Bonne chance pour tous les suivants.

Post nº2 (id3616) envoyé par Elise le 16 Jun 2008, 19:56

Question 1

Un système linéaire et permanent a pour transmittance isochrone H(iw) si l'entrée du système vaux u(t) = A sin(w0t), donner la réponse du système et démontrer le résultat ?

Question 2

Calculer l'integrale sur le contour fermé C de f(z) pour

f(z) = 1/(z²+4)(z²+1)
C étant défini

a) | z | = 1/2

b) | z | = 3/2

La première question ca s'est très mal passé et la deuxième très bien (Cauchy Goursat pour le a et théoréme des résidus puis qques questions sur qu'est ce qu'un résidu et donc série de laurent).

Malgré la premiere question il m'a dit que j'aurai 12 ou 13/20 !
Cool!
Bonne merde A tous, vous verrez c'est faisable...

Post nº1 (id3615) envoyé par anonyme le 16 Jun 2008, 19:35

Bonjour à tous,
voilà les qustions sur lesquelles je suis tombée ce matin

1ere question: théorie des signaux
demonstration de la trnasformée de Fourier d'un produit de convolution, en prenant soin de bien définir les conditions de dirichlet
puis il m'a donné une application: calcul d'une convolution à résoudre graphiquement (il voulait pas d'intégrale) avec x1(t)= heaviside(t) et
x2(t)=exp(-at).heaviside(t)
puis il m'a donné la fonction de transfert d'un système causal: H(p)=(p-11)/(p+1)(p+2)+ RDC + réponse à une entrée sinusoidale u(t)=2sin(t)

2ème question
série de laurent en 3 de 1/z²(z-3)² + région de convergence + résidu en z=3 en utilisant la série de laurent évidemment + multiplicité de 3 (à pouvoir trouver grace à la série de laurent également) ...
Il donne comme indications: poser q=z-3 et dérivée de 1/(1-z)= 1/(1-z)²
personnellement, j'ai pas du tout utilisé ces conseils mais ça ne l'a pas du tout dérangé
puis il m'a posé des petites questions: fonction analytique?, dérivabilité ==> cauchy riemann

ben voila c'est tout...
bon courage à tous pour la fin

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