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| Analyse fonctionelle 2007 (10) ::
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| Post nº10 (id3286) envoyé par 212 le 20 Aug 2007, 11:58 Fiche 25: (me rappelle plus bien la question) Donner les types de problèmes aux limites qui admettent une formulation variationnelle. Que pourrait-on faire pour améliorer l'existence et l'unicité de la solution... L'exo associé: soit le problème aux limites: - laplacien de u = f dans oméga n . grad u + u = 0 sur le bord de oméga où n est la normale extérieure à omega, avec f dans L^2(oméga) et oméga dans R^n. Fallait donner la formulation variationnelle du problème mais sans montrer que l'opérateur A était coercif. qqch dans le genre ... J'ai pas su répondre vu que j'avais pas fait tout le cours... Après, comme en juin, il m'avait déjà interrogé sur les 3 premiers chapitres, il m'a interrogé sur les chapitres 4 à 7 que je lui ai dit que j'avais plus ou moins étudié. Définition de l'espace de Schwartz, comment définit-on les produits de convolutions dans S et S' Parler des inclusions entre D, S, S' et D'. Où situe-t-on les espaces de Lebesgue (à chaque j'ai justifié les inclusion, j'ai dit qu'elles étaient dense et continues mais ça j'ai pas dû le justifier) Définition des espaces de Sobolev Enfin bon ... ct mieux qu'en juin où j'ai fait 8 mais ça méritait toujours pas une cote de réussite donc ça m'a fait 9 |
| Post nº9 (id2980) envoyé par C le 19 Jun 2007, 23:22 Fiche 22 (je pense) Donner la définition de l'espace de Lesbegue L^2 au sens de complétion de C_0 et sens de D'. J'ai mis les définitions et le raisonement pour arriver à l'idée des distributions. J'ai continué avec le Th disant que 2 suites sont équivalentes ssi les définissent une même distribution. Dans un sens la démo est fécile mais dans l'autre j'ai callé. "Ooouui, ya un petit artifice de calcul dont il faut se souvenir, mais c'est pas très grave." qu'il a dit. Il m'a demandé a quoi appartenait f. L'exo c'était montrer que la dirac n'appartient pas à L^p par contradiction. Une fois que c'est fini ça par dans tout les sens!!! Chapitre 1 jusque chapitre 8. Definir Topologie? Quesqu'un espace de banach? Donner des exemple. (R^n j'ai dit. Là, il a ri et a dis que c'était vrai mais que c'était pas interessant dans ce cadre. Sinon, ya Sobolev, hilbert, L^2, l'esp des fonctions continues bornées, ...) C'est quoi le fctionnelle de Riez? L'inégalité de Bessel? Th de Planchevel? Les TSF de Fourrier envoie les fctelles dans quels espaces? Quelles sont les hypothèses de Paley-Wiener? ... Et j'en oublie Pour toutes ces questions, ça va très vite il veux l'idée, il m'a jamais demandé de démontrer. La fiche c'était très bien passée mais j'ai bafouillé (qd je disais pas que je savais pas :~ )sur toutes les petites questions et j'y ai perdu pas mal de points. Et LA question finale je crois que vous pouvez la préparer sans problème. "Si vous pouviez choisir votre question de quoi m'auriez vous parlé?" |
| Post nº8 (id2973) envoyé par Lau l'analyste le 19 Jun 2007, 11:54 Fiche 26: Donner la formule variationnelle des problèmes de Poisson et Poisson-Neumann, démontrer au passage les inégalités de Friedrichs et Poincaré; les CL jouent-elles le même rôle? Exercice associé: le problème avec les CL mixtes, montrer que A est symétrique et coercif... tp7 :-( Quand j'ai vu ça je me suis retenu de pleurer ;-) je me souvenais des principes que je me suis dans l'ENSEMBLE BORNE à écrire sans être COMPLET. Pour la SUITE, le prof est très OUVERT et il a fini par m'arracher tant bien que mal les infos pertinentes sur les espaces de travail etc, bien que je sois plutôt FERME sur ce SOUS-ESPACE de la matière du cours. Ensuite comme d'hab il a posé pas mal de questions sur les différents chapitres (je saurais plus trop dire quoi exactement, je commençais à plonger dans un état second lol), et il propose de choisir une dernière question au choix, "qqch que tu connais ou que tu aimes" - et là c'est dur de choisir ;-) j'ai pris Plancherel qu'il m'a demandé d'interpréter et démontrer. Tout au long de l'examen, le prof note des remarques sur vos réponses et à la fin il en tire une cote qu'il commente en étant tout gentil: il m'a cherché lui-même des excuses pour mes "approximations" qui étaient en fait de belles conneries souvent! Sur l'éternité qu'a duré l'oral, il m'a mis cent fois sur la voie d'une bonne réponse et a presque réussi à me faire avouer que "l'analyse fonctionnelle, finalement, c'est pas si compliqué" (il a quand même rigolé en voyant que j'étais pas convaincu...) |
| Post nº7 (id2969) envoyé par Jeremy le 18 Jun 2007, 19:49 Voilà, j'ai eu une question sur les espaces de Hilbert : 1) définition suite orthonormée, propriétés (Bessel, Parceval, théorème de Riesz-Fischer), ensuite définir base hilbertienne, démontrer que pour tout espace de Hilbert séparable, il existe une base hibertienne, et dire ce que l'on entend, par le fait que tous les espaces de Hilbert séparablent se ressemble... par insurmontable donc ... ;) Ensuite comment on démontre les autres points de la section (Riesz-Fischer, Bessel, ...) 2) Exercice : trouver le projecteur othogonal de C sur le sous espace vectoriel engendré par f1 et f2 des Tps 3) panorama du cours sur les autres chapitres pour encore hausser la note (après qu'il m'aie dit que tout était ok pour ce qui précédait) : exemples d'espaces de Hilbert, Paley-Wiener, lien avec la fin (discrétisation) du chapitre 8 et le chapitre sur espaces de Hilbert Voilà |
| Post nº6 (id2968) envoyé par Mathieu le 18 Jun 2007, 17:07 Fiche 20 1 Enoncer et démontrer Holder et Minkowski plus les implications de ces deux inégalités : L^p est un norme et norme duale. Donner le dual de L^p. 2 Exercice comme dans le tp, démontrer que si f est dans L^p et L^q alors, f est dans L^r avec p 3 Les questions subsidiaires : Donner quelques étapes de la démonstration du théorème du graphe fermé. Sur le chap 8, donner un exemple de normes équivalentes (et définir ce que c'est) dans ce chapitre : H^1 et énergie. Dernière question, donner un exemple de suite qui converge faiblement mais pas fortement : dans le cours, on trouve un exemple sur les norme des opérateurs L (décallage vers la gauche) et R (vers la droite). Le prof est très sympa et met plutot à l'aise. |
| Post nº5 (id2965) envoyé par francois le 18 Jun 2007, 14:06 Fiche 24 : 1. Enoncer et démontrer le théorème de la trace. Ca a plutôt mal commencé, je n'avais jamais lu la démo. Je lui ai juste énoncé mais je pouvais pas faire grand chose de plus. Définir H^-m et comment se caractérisent ses éléments? H^-m est le dual de H^m_0, ses éléments sont des combinaisons linéaires de fonctions de L^2 et de leurs dérivées < m + démonstration comme dans le cours. 2. Exercice : le premier de la séance 7 : montrer que delta = -f''+f et trouver f. Comme au TP. Comme la première question a été très moyenne il m'a demandé de choisir une partie du cours que je connaissais et dont je voulais parler. Comme j'avais pas des masses d'idées il m'a demandé d'énoncer et démontrer le théorème de Riesz, comme dans le cours. Ensuite, parler des normes équivalentes (définition) + ce que ça implique sur la topologie de l'espace (les topologies sur les deux normes sont identiques) + comment définir une topologie avec des normes (boules ouvertes). Ensuite "on parle des normes équivalentes beaucoup plus loin dans le cours..." ==> le chapitre 8, équivalence entre norme énergie et norme usuelle des espaces utilisés (Sobolev). Et enfin : C_0 complété par la norme L2 est-il de Banach? La réponse n'est pas "oui" comme on pourrait le croire. Il ne l'est que pour la norme infini. Pendant l'examen il est très sympa, si on sait comment commencer les démos il n'hésite pas à aider en cas de problème et laisse le temps de réfléchir en cas d'hésitations. |
| Post nº4 (id2960) envoyé par incognitout le 17 Jun 2007, 14:21 fiche 16: -Définir la transformée de Fourrier dans S' et écrire ses principales propriétés et les démontrer. -Enoncer le théorème de Paley-Wiener et le démontrer. -Exercice: Calculer la TF de vp(1/x) Le prof est super sympa, il aide a retrouver les choses oubliées. Il demande a connaitre a fond les notions de bases, les definitions, les hypothèses de calcul et les astuces utilisées dans les démonstrations. Un conseil: ne pas hesiter a étaler ses connaissances sur le cours, mais si ca n'a pas trop a voir avec la question, ce sera toujours apprécié par le prof. |
| Post nº3 (id2956) envoyé par 212 le 16 Jun 2007, 23:52 Alors j'ai pioché la fiche 22 mais je me rappelle plus exactement de la question ... c'est un truc genre ... définir quand est-ce qu'on peut multiplier deux éléments d'espaces de Lebesgue + un truc (avec preuve) du genre énoncer les propriétés de lissage et de dérivation ... J'ai essayé de mémoriser la question mais désolé j'y ai pas arrivé ... Le petit exercice c'était du style: soit f appartenant à l'intersection de L^p et L^q (1< p < q < infini) , montrer que f appartient à L^r avec r in [p,q]. J'crois qu'il fallait aussi montrer une égalité de norme genre que la norme r de f = (norme p)^alpha * (norme q)^(1-alpha) avec alpha relié à p,q,r par une certaine relation... Il m'a dit que ça sortait droit des tp mais j'ai pas été vérifier ... sinon ben comme j'y comprenais absolument rien, pendant la demi-heure qu'il m'a laissé tout seul pour plancher sur la question, je me suis contenté de définir ce qu'était que l'espace de Lebesgue L^2 en parlant de la norme, de l'espace de fonction qu'on complète vis-à-vis de la norme, de comment on définissait la limite d'une suite de fonctions prises comme distributions. Bref j'ai pédalé dans la semoule ... Mais il avait pas l'air spécialement outré, il est assez sympa. Il a posé quelques questions pour que je précise un peu ce que je disais même si ça n'avait plutôt rien à voir avec l'objet initial de la question ... Il m'a ensuite demandé ce que je pouvais dire d'autre sur les espaces de Lebesgue et là j'ai honteusement avoué que je n'avais en fait étudié que les trois premiers chapitres et que je venais principalement pour voir comment se déroulait l'examen, mais que je ne comptais pas spécialement le réussir... Et là ben, gentillement, il a commencé à m'interroger sur les 3 premiers chapitres... toute une flopée de questions... De quel type d'espace sont les espaces de Lebesgue ? Des espace de Hilbert Particularité de l'espace dual d'un espace de Hilbert ? Théorème de représentation de Riesz -> H et H' sont isométriques Qu'est-ce qu'une suite orthonormée ? Qu'est-ce qu'elles ont de spécial ? On peut les utiliser comme base de l'espace si la suite est complète (+définition de complète). Ecrire un tel développement. Comment sait-on que ce développement en série converge ? Inégalité de Bessel. Définir des normes équivalentes. Cas particulier d'espaces où toutes les normes sont équivalents ? espaces finidimensionnels Enoncer le théorème du graphe fermé + démonstration en gros, les grandes étapes. Là j'ai coincé un peu. Il m'a aidé, il m'a rappelé l'artifice de calcul à utiliser (définir une autre norme, appliquer le théorème de l'application ouverte à l'identité entre les deux espaces de Banach)... Bref, ça s'est pas trop mal passé, il est bien du genre à aider quand ça coince surtout pour la démonstrations où je savais plus trop comment continuer... Bon j'ai eu 8 mais ça c'est un peu parce que j'ai nié la moitié intéressante du cours ... |
| Post nº2 (id2952) envoyé par marko le 16 Jun 2007, 17:44 salut les copines, voici mes question: definir un espace se banach + donner les exemples, puis théorème du graphe fermé et ouvert ( à ennoncer et demontrer) puis que conclure sur les application bijective à partir de ces théorème. et poue exercice je ne sais plus car j'ai pas etidier cette partie du cours. je savais à peine ennocer les théorème... il m'a questionné pendant plus d'une heure sur tout et m'a fait demontrer les deux truc...je crois qu'il faut bien comprendre et surtout ne pas stresser car il est hyper sympa. l'examen se passe snas stresse et il veut vraiment voir ce qu'on a retenue de ce cours. honnetement c'est le seul chapitre du cours que j'ai pas etudié(bon j'avoue le 1 et le deux non plus:)... ) mais je me suis qd meme en tirer avec genre 10 ou 11. j'ai un meme pas rempli un tableau et j'ai pas mal merdé durant l'intterogatoire. si vous avez un peu de chance c'est tout à fait possible de faire un 15 dans ce cours. |
| Post nº1 (id2947) envoyé par cromh le 16 Jun 2007, 13:30 Toutes les propriétés des espaces L2. D < S < L2 < S' < D' et plancherel. + définir tout ce qu'on utilise + démontrer les propriétés. puis parler des autres espaces L2 (stieltjes et sous-espaces) ne pas hésiter a faire des liens avec le reste du cours. Et d'utiliser sa méthode pour construire les réponces. Puis un petit exercice : démontrer que delta n'est pas dans un espace Lp pour p>1 en utilisant l'inegalité de jes ais plus qui... Il te laisse un certain temps (il dit 20 min, mais ça m'a paru plutot une éternité) pour préparer tes réponces. Il t'aide quand tu t'embrouille... Bonne chance. |
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